Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \frac{1}{1 - x^{2}} $. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar lembrar sobre funções racionais e as restrições que surgem quando o denominador pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x) = \frac{1}{1 - x^{2}} $, percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação $ 1 - x^{2} \neq 0 $:
Isso significa que $ x $ pode ser qualquer número real exceto 1 e -1.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Para isso, vamos pensar em $ y = \frac{1}{1 - x^{2}} $ e resolver em termos de $ y $ para ver quais valores são possíveis.
Rearranjando a equação:
Como $ x^{2} $ é sempre maior ou igual a zero, a expressão $ \frac{y - 1}{y} $ também deve ser maior ou igual a zero. Vamos analisar isso:
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Quando $ y > 0 $:
-
Quando $ y < 0 $:
No entanto, ao combinar essas duas condições, vemos que $ y $ pode ser qualquer número real exceto entre 0 e 1. Portanto, a imagem é $ y \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.
Resposta
- Domínio: $ x \in \mathbb{R} $ tal que $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $.
- Imagem: $ y \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.