Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de funções, especificamente analisando onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos identificar onde o denominador não é zero e entender como a função se comporta para diferentes valores de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de uma fração como essa, a função não está definida quando o denominador é zero, porque a divisão por zero não existe na matemática.
Então, precisamos resolver a equação onde o denominador é igual a zero:
Resolvendo para $ x $:
Isso significa que quando $ x = 1 $, o denominador é zero e a função não está definida. Portanto, o domínio da função são todos os números reais exceto $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que $ f(x) $ pode assumir. Para isso, podemos analisar o comportamento da função conforme $ x $ varia.
A função é dada por:
Podemos notar que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, e polinômios são contínuos em todo o domínio. Além disso, à medida que $ x $ se aproxima de $ 1 $ (onde a função não está definida), $ f(x) $ tende a infinito positivo ou negativo, dependendo da direção de aproximação.
Como não há restrições adicionais no numerador e o denominador pode assumir valores positivos e negativos (exceto zero), a função pode assumir qualquer valor real exceto possivelmente um valor específico que pode ser analisado mais a fundo. No entanto, para essa função específica, não há tais restrições evidentes, então a imagem é todos os números reais.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $ é todos os números reais exceto $ x = 1 $, ou seja:
A imagem da função é todos os números reais: