Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
(j)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \ln(1 - x^{2}) $ e precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e análise de funções.
Passo 2
Encontrando o domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica $ \ln(u) $, o argumento $ u $ precisa ser maior que zero, ou seja, $ u > 0 $.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica $ \ln(u) $, o argumento $ u $ precisa ser maior que zero, ou seja, $ u > 0 $.
Aqui, nosso argumento é $ 1 - x^{2} $. Então, precisamos que:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte):
Passo 4
Agora, resolvendo $ x^{2} < 1 $:
Isso significa que o quadrado de $ x $ deve ser menor que 1. Portanto:
Isso significa que o quadrado de $ x $ deve ser menor que 1. Portanto:
Então, o domínio da função é o intervalo aberto entre -1 e 1.
Passo 5
Encontrando a imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que a função é $ f(x) = \ln(1 - x^{2}) $.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que a função é $ f(x) = \ln(1 - x^{2}) $.
Considerando o domínio $ -1 < x < 1 $:
- O valor mínimo de $ x^{2} $ é 0 (quando $ x = 0 $), então $ 1 - x^{2} $ será no máximo 1.
- O valor máximo de $ x^{2} $ é próximo de 1 (quando $ x $ se aproxima de -1 ou 1), então $ 1 - x^{2} $ se aproxima de 0.
Portanto, $ 1 - x^{2} $ varia entre 0 (não incluso) e 1 (incluso).
Passo 6
Agora, aplicando a função logaritmo natural:
- Quando $ 1 - x^{2} = 1 $, $ \ln(1) = 0 $.
- À medida que $ 1 - x^{2} $ se aproxima de 0, $ \ln(1 - x^{2}) $ tende a $ -\infty $.
Assim, a imagem da função é todo número real negativo, ou seja, $ (-\infty, 0] $.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \ln(1 - x^{2}) $ é $ -1 < x < 1 $ e a imagem é $ (-\infty, 0] $.