Dadas as funções T: R^2 longrightarrow R^2 a seguir, verifique quais são transformações lineares.
T(x, y)=(-x,-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(-x,-y)
é uma transformação linear. Para isso, precisamos usar a definição: T é linear se e somente se, para todos u,vinR^2 e todo escalar alphainR, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Tome dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v)=l(-(x1+x2),;-(y1+y2)r) =(-x1-x2,;-y1-y2)
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(-x1,-y1)+(-x2,-y2) =(-x1-x2,;-y1-y2)
Logo
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e u=(x,y). Então
alpha,u=(alpha x,;alpha y)
e
T(alpha u)=l(-(alpha x),;-(alpha y)r) =(,-alpha x,;-alpha y) =alpha,(-x,-y) =alpha,T(u)
Assim,
T(alpha u)=alpha,T(u)

Resposta

A transformação T(x,y)=(-x,-y) satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, portanto é uma transformação linear.

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