Encontre uma base do -espaço vetorial contendo os polinômios e .
Passo 1
O espaço é o conjunto dos polinômios de grau, que tem dimensão sobre . Recebemos três polinômios
e queremos achar mais dois polinômios para completar uma base de dimensão que contenha . Vamos primeiro verificar que são independentes no espaço de coeficientes relativo à base canônica .
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de na base e montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
Fazendo operações de linha (por exemplo R2>=ts R2 - R1, R3>=ts R3 - R1 etc.), encontra‑se posto 3. Logo p1,p2,p3 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em P4(R).
Passo 3
Para estender a base precisamos de dois polinômios extras que não estejam no spanp1,p2,p3. É natural testar os monômios canônicos
e0=1,;e1=t,;e2=t^2,;e3=t^3,;e4=t^4
Resolvendo a,p1+b,p2+c,p3=ei para cada i, verifica‑se que ,e4=t^4 já está no spanpj,
enquanto e0,e1,e2,e3 não podem ser obtidos como combinação linear de p1,p2,p3.
Escolhemos, por simplicidade, dois desses monômios, digamos t e t^2, para adicionar.
Passo 4
Mostra‑se que
,p1,,p2,,p3,,t,,t^2
é um conjunto de 5 polinômios em P4(R) que são linearmente independentes (porque já tínhamos posto 3 com p1,p2,p3 e t,t^2 não estão no span deles) e, por terem 5 vetores em espaço de dimensão 5, formam uma base.
Resposta
Uma base de P4(R) contendo p1,p2,p3 é, por exemplo,