Encontre uma base do R-espaço vetorial P4(R) contendo os polinômios p1(t)=1+2 t+t^2+3 t^3+t^4, p2(t)=1+t+5 t^3 e p3(t)=1+3 t+2 t^2+t^3+5 t^4.

Passo 1

O espaço P4(R) é o conjunto dos polinômios de grau <=4, que tem dimensão 5 sobre R. Recebemos três polinômios
p1(t)=1+2t+t^2+3t^3+t^4, p2(t)=1+t+5t^3, p3(t)=1+3t+2t^2+t^3+5t^4,
e queremos achar mais dois polinômios para completar uma base de dimensão 5 que contenha p1,p2,p3. Vamos primeiro verificar que p1,p2,p3 são independentes no espaço de coeficientes relativo à base canônica 1,t,t^2,t^3,t^4.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de p1,p2,p3 na base 1,t,t^2,t^3,t^4 e montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
M = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 1 & 1 & 0 & 5 & 0 1 & 3 & 2 & 1 & 5
Fazendo operações de linha (por exemplo R2>=ts R2 - R1, R3>=ts R3 - R1 etc.), encontra‑se posto 3. Logo p1,p2,p3 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em P4(R).

Passo 3

Para estender a base precisamos de dois polinômios extras que não estejam no span p1,p2,p3. É natural testar os monômios canônicos
e0=1,;e1=t,;e2=t^2,;e3=t^3,;e4=t^4
Resolvendo a,p1+b,p2+c,p3=ei para cada i, verifica‑se que
,e4=t^4 já está no span pj,
enquanto e0,e1,e2,e3 não podem ser obtidos como combinação linear de p1,p2,p3.
Escolhemos, por simplicidade, dois desses monômios, digamos t e t^2, para adicionar.

Passo 4

Mostra‑se que
,p1,,p2,,p3,,t,,t^2
é um conjunto de 5 polinômios em P4(R) que são linearmente independentes (porque já tínhamos posto 3 com p1,p2,p3 e t,t^2 não estão no span deles) e, por terem 5 vetores em espaço de dimensão 5, formam uma base.

Resposta

Uma base de P4(R) contendo p1,p2,p3 é, por exemplo,
boxed,p1,;p2,;p3,;t,;t^2

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