Encontre uma base do R-espaço vetorial M2(R) contendo as matrizes A1=[rr2 & -1 0 & 1], A2=[rr-2 & 3 1 & 1] e A3=[ll0 & 2 1 & 5].

Passo 1

O enunciado pede uma base de M2(R) (que tem dimensão 4) contendo as matrizes
A1 = 2 & -10 & 1, A2 = -2 & 31 & 1, A3 = 0 & 21 & 5
Vamos primeiro verificar se A1,A2,A3 são linearmente independentes. Se sim, precisamos de mais uma matriz para completar uma base de dimensão 4.

Passo 2

Representamos cada matriz como vetor em
Isso gera o sistema
Da terceira equação . Então a primeira dá , ok, mas a quarta dá
logo . Concluímos que são independentes.

Passo 3

Como já temos
Para ver que não está no span de , tentamos
que leva ao sistema
Das duas últimas vem , mas então a primeira dá , i.e.\ , contradição. Logo .

Resposta

Uma base de M2(R) contendo A1,A2,A3 é
,A1,;A2,;A3,;B com B=1 & 00 & 0

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