Pergunta explícita: desenhar (e descrever) o lugar das raízes do sistema em malha fechada quando o ganho em malha aberta K varia de 0 a +\infty.
Dados importantes extraídos do enunciado que usaremos depois: as funções G(s) e H(s) acima e que assumimos um ganho escalar K multiplicando G(s)H(s) para formar a função de laço aberto K\cdot G(s)H(s).
Passo 2
Formo a função de laço aberto L(s)=G(s)H(s). Multiplicando:
Zeros em malha aberta: nenhum (não há zeros finitos).
Passo 3
Regras básicas do lugar das raízes (lembrando devagar e com jeitinho):
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha aberta n. Aqui n=3.
Cada ramo começa num polo (quando K=0) e termina num zero finito ou vai para o infinito se não houver zeros suficientes. Aqui não há zeros finitos (m=0), logo n-m=3 ramos irão para o infinito.
No eixo real o lugar existe em pontos onde o número de polos e zeros à direita do ponto é ímpar.
Passo 4
Determino os segmentos do eixo real que pertencem ao locus usando a regra do número de polos/zeros à direita:
Polos reais ordenados: -\infty … -5 … -2 … 0 … +\infty.
Para s<-5: à direita há polos em -5,-2,0 (3 → ímpar) ⇒ locus existe em (-\infty,-5).
Para -5<s<-2: à direita há polos em -2,0 (2 → par) ⇒ não existe locus aí.
Para -2<s<0: à direita há o polo em 0 (1 → ímpar) ⇒ locus existe em (-2,0).
Para s>0: à direita não há polos (0 → par) ⇒ não existe locus.
Conclusão: partes reais do locus estão em (-\infty,-5) e em (-2,0).
Passo 5
Como não há zeros finitos, cálculo das assimptotas do lugar das raízes (os ramos que vão para o infinito):
Interpretação: uma assimptota sai para a esquerda pelo eixo real (180^\circ) e duas partem do centro para cima/baixo com inclinação 60^\circ e -60^\circ.
Passo 6
Procuro pontos de breakaway (onde ramos reais se encontram e saem para o plano complexo). Uso a condição prática via K(s)=-1/L(s) em eixos reais:
Interpretação: para K\approx0{,}812 os polos em -2 e 0 se encontram em -0{,}8805 e, para K maior, saem em pares para o plano complexo.
Passo 7
Verifico se algum ramo cruza o eixo imaginário (isso é útil para estabilidade). Uso a equação característica polinomial obtida multiplicando por s(s+2)(s+5):
s(s+2)(s+5)+5K=0.
Substituo s=j\omega e separo real e imaginário:
Calculo s(s+2)(s+5) com s=j\omega:
Parte real: -7\omega^2 +5K=0\Rightarrow K=\dfrac{7}{5}\omega^2.
Parte imaginária: \omega(10-\omega^2)=0\Rightarrow\omega=0 ou \omega^2=10.
Desprezo \omega=0 (ponto degenerado). Com \omega^2=10 obtemos \omega=\sqrt{10} e
K=\frac{7}{5}\cdot 10=14.
Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em
s=\pm j\sqrt{10}\approx \pm j3{,}1623
quando K=14.
Passo 8
Resumo do comportamento dos ramos (tradução para desenho — sem figura, digo como traçar):
Polos iniciais (quando K=0) em s=0,\;s=-2,\;s=-5. Nenhum zero finito.
Segmentos reais: locus em (-\infty,-5) e em (-2,0).
Breakaway: os polos em s=0 e s=-2 se aproximam, encontram-se em s\approx -0{,}8805 quando K\approx0{,}812, e então partem como conjugados complexos para fora do eixo real.
Um ramo (originado em s=-5) segue para a esquerda ao longo do eixo real e vai para o infinito ao longo da assimptota de 180^\circ.
Dois ramos (originados em s=0 e s=-2) após o ponto de breakaway vão para o plano complexo, aproximam-se das assimptotas de \pm60^\circ a partir do centro \sigma_a=-\tfrac{7}{3}.
Cruzamento do eixo imaginário: ocorre em s=\pm j\sqrt{10} quando K=14. Para K<14 os polos de maior ordem ficam no semiplano esquerdo (exceto em K=0 que há um polo em s=0); para K>14 o par complexo vai para o semiplano direito (sistema instável).
Como desenhar à mão (passos práticos para o rascunho da prova):
Marque os polos com \times em s=-5,\;s=-2,\;s=0. Não marque zeros (não há).
No eixo real sombreie os intervalos onde há locus: (-\infty,-5) e (-2,0).
Marque o centro das assimptotas em \sigma_a=-\tfrac{7}{3}\approx-2{,}333. Desenhe três linhas saindo desse ponto em ângulos 180^\circ,\,60^\circ,\,-60^\circ.
Indique o ponto de breakaway em s\approx-0{,}8805 e escreva K\approx0{,}812 ali.
Indique a interseção com o eixo imaginário em s=\pm j\sqrt{10} e escreva K=14.
Trace um ramo saindo de -5 indo para a esquerda ao longo do eixo real. Trace dois ramos saindo de 0 e -2 que se aproximam, se encontram em -0{,}8805, depois partem simetricamente para cima e para baixo em direção às assimptotas \pm60^\circ.
Resposta
Pontos principais do lugar das raízes:
Polos em malha aberta: s=0,\;s=-2,\;s=-5. Zeros finitos: nenhum.
Segmentos reais do locus: (-\infty,-5) e (-2,0).
Centro das assimptotas: \sigma_a=-\dfrac{7}{3}\approx -2{,}333.
Ângulos das assimptotas: 60^\circ,\;180^\circ,\;-60^\circ.
Ponto de breakaway real (válido): s\approx -0{,}8805 com K\approx 0{,}812.
Cruzamento do eixo imaginário: s=\pm j\sqrt{10}\approx \pm j3{,}1623 para K=14.
Comportamento qualitativo: um ramo (de s=-5) vai para -\infty ao longo do eixo real; dois ramos (de s=0 e s=-2) se encontram em -0{,}8805 e partem como conjugados complexos rumo às assimptotas \pm60^\circ, cruzando o eixo imaginário em K=14 (sistema instável para K>14).