Dadas as funções de transferência em malha aberta, desenhe o lugar das raízes.
G(s)=\frac{5}{s(s+5)} ; \mathrm{H}(\mathrm{s})=\frac{1}{(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o lugar das raízes (root locus) da malha fechada dado o laço aberto formado por G(s) e H(s). Informações dadas:
G(s)=\frac{5}{s(s+5)},\qquad H(s)=\frac{1}{(s+2)}.
Pergunta explícita: desenhar (e descrever) o lugar das raízes do sistema em malha fechada quando o ganho em malha aberta K varia de 0 a +\infty.
Dados importantes extraídos do enunciado que usaremos depois: as funções G(s) e H(s) acima e que assumimos um ganho escalar K multiplicando G(s)H(s) para formar a função de laço aberto K\cdot G(s)H(s).

Passo 2

Formo a função de laço aberto L(s)=G(s)H(s). Multiplicando:
L(s)=G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+5)}\cdot\frac{1}{(s+2)}=\frac{5}{s(s+2)(s+5)}.
Agora identifico polos e zeros abertos:
  • Polos em malha aberta: s=0,\;s=-2,\;s=-5.
  • Zeros em malha aberta: nenhum (não há zeros finitos).

Passo 3

Regras básicas do lugar das raízes (lembrando devagar e com jeitinho):
  • O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha aberta n. Aqui n=3.
  • Cada ramo começa num polo (quando K=0) e termina num zero finito ou vai para o infinito se não houver zeros suficientes. Aqui não há zeros finitos ( m=0), logo n-m=3 ramos irão para o infinito.
  • No eixo real o lugar existe em pontos onde o número de polos e zeros à direita do ponto é ímpar.

Passo 4

Determino os segmentos do eixo real que pertencem ao locus usando a regra do número de polos/zeros à direita:
Polos reais ordenados: -\infty -5 -2 0 +\infty.
  • Para s<-5: à direita há polos em -5,-2,0 (3 → ímpar) ⇒ locus existe em (-\infty,-5).
  • Para -5<s<-2: à direita há polos em -2,0 (2 → par) ⇒ não existe locus aí.
  • Para -2<s<0: à direita há o polo em 0 (1 → ímpar) ⇒ locus existe em (-2,0).
  • Para s>0: à direita não há polos (0 → par) ⇒ não existe locus.
    Conclusão: partes reais do locus estão em (-\infty,-5) e em (-2,0).

Passo 5

Como não há zeros finitos, cálculo das assimptotas do lugar das raízes (os ramos que vão para o infinito):
  • Número de assimptotas: n-m=3-0=3.
  • Centro (centroide) das assimptotas:
\sigma_a=\frac{\sum\text{polos}-\sum\text{zeros}}{n-m}=\frac{0+(-2)+(-5)}{3}=\frac{-7}{3}\approx -2{,}333.
  • Ângulos das assimptotas dados por
\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\qquad k=0,1,2.
Calculando:
\theta_0=\frac{\pi}{3}=60^\circ,\quad \theta_1=\pi=180^\circ,\quad \theta_2=\frac{5\pi}{3}=300^\circ\\ (\text{ou }-60^\circ).
Interpretação: uma assimptota sai para a esquerda pelo eixo real ( 180^\circ) e duas partem do centro para cima/baixo com inclinação 60^\circ e -60^\circ.

Passo 6

Procuro pontos de breakaway (onde ramos reais se encontram e saem para o plano complexo). Uso a condição prática via K(s)=-1/L(s) em eixos reais:
\text{Característica: }1+K L(s)=0\quad\Rightarrow\quad K=-\frac{1}{L(s)}.í
Aqui
K(s)=-\frac{1}{L(s)}=-\frac{1}{\dfrac{5}{s(s+2)(s+5)}}=-\frac{s(s+2)(s+5)}{5}.
Pontos de breakaway satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0. Derivo K(s):
K(s)=-\frac{1}{5}\bigl(s^3+7s^2+10s\bigr).
\frac{dK}{ds}=-\frac{1}{5}\bigl(3s^2+14s+10\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad 3s^2+14s+10=0.
Resolvo a quadrática:
\Delta=14^2-4\cdot3\cdot10=196-120=76.
s=\frac{-14\pm\sqrt{76}}{6}=\frac{-14\pm2\sqrt{19}}{6}.
Avalio numericamente:
s_1\approx\frac{-14+8{,}717}{6}\approx -0{,}8805,\qquad s_2\approx\frac{-14-8{,}717}{6}\approx -3{,}7861.
Agora verifico em quais intervalos do eixo real esses pontos caem:
  • s_1\approx -0{,}8805 está em (-2,0) → válido (onde há locus real).
  • s_2\approx -3{,}7861 está em (-5,-2) → inválido (nessa região não há locus).
    Portanto existe um único ponto de breakaway real em
s\approx -0{,}8805.
Calculo o valor de K nesse ponto (para saber quando ocorre a separação):
K=-\frac{s(s+2)(s+5)}{5}\Bigg|_{s=-0{,}8805}\approx 0{,}812.
Interpretação: para K\approx0{,}812 os polos em -2 e 0 se encontram em -0{,}8805 e, para K maior, saem em pares para o plano complexo.

Passo 7

Verifico se algum ramo cruza o eixo imaginário (isso é útil para estabilidade). Uso a equação característica polinomial obtida multiplicando por s(s+2)(s+5):
s(s+2)(s+5)+5K=0.
Substituo s=j\omega e separo real e imaginário:
Calculo s(s+2)(s+5) com s=j\omega:
s(s+2)(s+5)=j\omega( j\omega+2)( j\omega+5) = -7\omega^2 + j\,\omega(10-\omega^2).
A condição característica fica
-7\omega^2 + j\,\omega(10-\omega^2) +5K=0.
Separando partes:
  • Parte real: -7\omega^2 +5K=0\Rightarrow K=\dfrac{7}{5}\omega^2.
  • Parte imaginária: \omega(10-\omega^2)=0\Rightarrow\omega=0 ou \omega^2=10.
    Desprezo \omega=0 (ponto degenerado). Com \omega^2=10 obtemos \omega=\sqrt{10} e
K=\frac{7}{5}\cdot 10=14.
Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em
s=\pm j\sqrt{10}\approx \pm j3{,}1623
quando K=14.

Passo 8

Resumo do comportamento dos ramos (tradução para desenho — sem figura, digo como traçar):
  • Polos iniciais (quando K=0) em s=0,\;s=-2,\;s=-5. Nenhum zero finito.
  • Segmentos reais: locus em (-\infty,-5) e em (-2,0).
  • Breakaway: os polos em s=0 e s=-2 se aproximam, encontram-se em s\approx -0{,}8805 quando K\approx0{,}812, e então partem como conjugados complexos para fora do eixo real.
  • Um ramo (originado em s=-5) segue para a esquerda ao longo do eixo real e vai para o infinito ao longo da assimptota de 180^\circ.
  • Dois ramos (originados em s=0 e s=-2) após o ponto de breakaway vão para o plano complexo, aproximam-se das assimptotas de \pm60^\circ a partir do centro \sigma_a=-\tfrac{7}{3}.
  • Cruzamento do eixo imaginário: ocorre em s=\pm j\sqrt{10} quando K=14. Para K<14 os polos de maior ordem ficam no semiplano esquerdo (exceto em K=0 que há um polo em s=0); para K>14 o par complexo vai para o semiplano direito (sistema instável).
  • Valores aproximados úteis: \text{centroide } \sigma_a\approx -2{,}333,\quad \text{breakaway } s\approx -0{,}8805,\quad K_{\text{break}}\approx0{,}812,\quad K_{\text{cruz.im.}}=14.

Passo 9

Como desenhar à mão (passos práticos para o rascunho da prova):
  1. Marque os polos com \times em s=-5,\;s=-2,\;s=0. Não marque zeros (não há).
  2. No eixo real sombreie os intervalos onde há locus: (-\infty,-5) e (-2,0).
  3. Marque o centro das assimptotas em \sigma_a=-\tfrac{7}{3}\approx-2{,}333. Desenhe três linhas saindo desse ponto em ângulos 180^\circ,\,60^\circ,\,-60^\circ.
  4. Indique o ponto de breakaway em s\approx-0{,}8805 e escreva K\approx0{,}812 ali.
  5. Indique a interseção com o eixo imaginário em s=\pm j\sqrt{10} e escreva K=14.
  6. Trace um ramo saindo de -5 indo para a esquerda ao longo do eixo real. Trace dois ramos saindo de 0 e -2 que se aproximam, se encontram em -0{,}8805, depois partem simetricamente para cima e para baixo em direção às assimptotas \pm60^\circ.

Resposta

Pontos principais do lugar das raízes:
Polos em malha aberta: s=0,\;s=-2,\;s=-5. Zeros finitos: nenhum.
Segmentos reais do locus: (-\infty,-5) e (-2,0).
Centro das assimptotas: \sigma_a=-\dfrac{7}{3}\approx -2{,}333.
Ângulos das assimptotas: 60^\circ,\;180^\circ,\;-60^\circ.
Ponto de breakaway real (válido): s\approx -0{,}8805 com K\approx 0{,}812.
Cruzamento do eixo imaginário: s=\pm j\sqrt{10}\approx \pm j3{,}1623 para K=14.
Comportamento qualitativo: um ramo (de s=-5) vai para -\infty ao longo do eixo real; dois ramos (de s=0 e s=-2) se encontram em -0{,}8805 e partem como conjugados complexos rumo às assimptotas \pm60^\circ, cruzando o eixo imaginário em K=14 (sistema instável para K>14).

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