Questão 07: Dada uma função de transferência em malha aberta, projete um controlador PID pelo método da resposta crítica ( 2^{\circ} método de Ziegler-Nichols).
G(s)=\frac{8}{s(s+2)(s+4)}
Em seguida, apresente a função de transferência em malha fechada do sistema controlado (controlador + planta).
Passo 1
O enunciado dá a planta em malha aberta
G(s)=\frac{8}{s(s+2)(s+4)}
e pede duas coisas: (1) projetar um controlador PID usando o método da resposta crítica (2.º método de Ziegler–Nichols) e (2) apresentar a função de transferência em malha fechada do sistema controlado (controlador + planta).
Informações relevantes dadas: a expressão de G(s) acima. Vou assumir realimentação unitária (feedback igual a 1), que é o caso padrão desse método. A resolução começa encontrando o ganho último K_u e o período último T_u para depois aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols.
Passo 2
Explicação do método (passo a passo didático): o método de Ziegler–Nichols (2.º método) determina, por ensaio teórico/experimental, o ganho proporcional crítico K_u que deixa o sistema em oscilação sustentada quando usamos apenas um controlador proporcional K. A partir de K_u e do período de oscilação T_u obtidos, aplicam-se fórmulas tabeladas para escolher os parâmetros do PID.
Na prática, para determinar K_u analiticamente fazemos:
consideramos o laço aberto com ganho proporcional K: L(s)=K\,G(s);
procuramos a frequência \omega_u tal que a fase de G(j\omega_u) seja -180^\circ (porque para K=K_u o sistema fica marginalmente estável: a condição de fase é -180^\circ);
então exigimos que |K_u G(j\omega_u)|=1, daí K_u=1/|G(j\omega_u)|;
o período último é T_u=2\pi/\omega_u.
Agora vamos aplicar isso à planta dada.
Calculemos a fase de G(j\omega). Como G(s)=8/[s(s+2)(s+4)], temos
(Observação: os pequenos arredondamentos acima são aceitáveis para projeto prático; se preferir, mantenha as formas exatas em termos de \pi e \sqrt{2}.)
Passo 5
Agora montamos a função de transferência em malha aberta com o controlador:
L(s)=G_c(s)G(s).
Usando a forma fracionária,
L(s)=\frac{K_p\big(T_d s^2 + s + 1/T_i\big)}{s}\cdot\frac{8}{s(s+2)(s+4)}.
Ou seja
L(s)=\frac{8K_p\big(T_d s^2 + s + 1/T_i\big)}{s^2 (s+2)(s+4)}.
Com os números aproximados calculados no passo anterior temos o numerador aproximado
Esses coeficientes são arredondados a três casas decimais; a forma exata pode ser mantida em termos de \pi e \sqrt{2} se desejar maior precisão simbólica.
Passo 6
Resumo compacto (formas exatas e aproximações importantes):