Questão 07: Dada uma função de transferência em malha aberta, projete um controlador PID pelo método da resposta crítica ( 2^{\circ} método de Ziegler-Nichols).
G(s)=\frac{8}{s(s+2)(s+4)}
Em seguida, apresente a função de transferência em malha fechada do sistema controlado (controlador + planta).

Passo 1

O enunciado dá a planta em malha aberta
G(s)=\frac{8}{s(s+2)(s+4)}
e pede duas coisas: (1) projetar um controlador PID usando o método da resposta crítica (2.º método de Ziegler–Nichols) e (2) apresentar a função de transferência em malha fechada do sistema controlado (controlador + planta).
Informações relevantes dadas: a expressão de G(s) acima. Vou assumir realimentação unitária (feedback igual a 1), que é o caso padrão desse método. A resolução começa encontrando o ganho último K_u e o período último T_u para depois aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo didático): o método de Ziegler–Nichols (2.º método) determina, por ensaio teórico/experimental, o ganho proporcional crítico K_u que deixa o sistema em oscilação sustentada quando usamos apenas um controlador proporcional K. A partir de K_u e do período de oscilação T_u obtidos, aplicam-se fórmulas tabeladas para escolher os parâmetros do PID.
Na prática, para determinar K_u analiticamente fazemos:
  • consideramos o laço aberto com ganho proporcional K: L(s)=K\,G(s);
  • procuramos a frequência \omega_u tal que a fase de G(j\omega_u) seja -180^\circ (porque para K=K_u o sistema fica marginalmente estável: a condição de fase é -180^\circ);
  • então exigimos que |K_u G(j\omega_u)|=1, daí K_u=1/|G(j\omega_u)|;
  • o período último é T_u=2\pi/\omega_u.
Agora vamos aplicar isso à planta dada.
Calculemos a fase de G(j\omega). Como G(s)=8/[s(s+2)(s+4)], temos
\angle G(j\omega) = \angle 8 - \angle (j\omega) - \angle (j\omega+2) - \angle (j\omega+4).
Note que \angle 8=0 e \angle (j\omega) = +90^\circ. Para \omega>0 cada \angle(j\omega+a)=\arctan(\omega/a) em graus. Assim
\angle G(j\omega) = -90^\circ - \arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right).
A condição de -180^\circ é
-90^\circ - \arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right) = -180^\circ,
ou seja
\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right) + \arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right) = 90^\circ = \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Resolver \arctan(a)+\arctan(b)=\pi/2 é fácil quando a,b>0: isso ocorre quando ab=1. Aqui a=\omega/2 e b=\omega/4, então a condição vira
\frac{\omega}{2}\cdot\frac{\omega}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\omega^2}{8}=1 \quad\Rightarrow\quad \omega^2=8.
Portanto
\omega_u = \sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{(rad/s).}
Agora calculamos o módulo |G(j\omega_u)|. Em geral
|G(j\omega)|=\frac{8}{\omega\sqrt{\omega^2+4}\sqrt{\omega^2+16}}.
Substituindo \omega^2=8 (ou \omega=2\sqrt{2}) obtemos
\sqrt{\omega^2+4}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12},\qquad \sqrt{\omega^2+16}=\sqrt{8+16}=\sqrt{24}.
Assim
|G(j\omega_u)|=\frac{8}{\omega_u\sqrt{12}\sqrt{24}}.
Note que \sqrt{12}\sqrt{24}=\sqrt{288}=12\sqrt{2} e \omega_u=2\sqrt{2}, logo o denominador vale 2\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}=48. Portanto
|G(j\omega_u)|=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}.
Da condição |K_u G(j\omega_u)|=1 vem
K_u=\frac{1}{|G(j\omega_u)|}=6.
O período último é
T_u=\frac{2\pi}{\omega_u}=\frac{2\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.
Até aqui temos os valores essenciais: \displaystyle K_u=6 e \displaystyle T_u=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Aplicando as regras de Ziegler–Nichols para PID (forma clássica G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right)):
As fórmulas da tabela (Ziegler–Nichols, 2.º método) para PID são
K_p = 0{,}6\,K_u,\qquad T_i = 0{,}5\,T_u,\qquad T_d = 0{,}125\,T_u.
Substituindo K_u=6 e T_u=\pi/\sqrt{2}:
K_p = 0{,}6\cdot 6 = 3{,}6,
T_i = 0{,}5\cdot \frac{\pi}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}},
T_d = 0{,}125\cdot \frac{\pi}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{8\sqrt{2}}.
Vamos escrever o controlador na forma fracionária útil para a multiplicação com a planta:
G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right) = K_p\frac{T_d s^2 + s + \dfrac{1}{T_i}}{s}.
Calculemos alguns valores numéricos aproximados (para usar na construção da TF em polinômios):
T_u \approx \frac{3{,}1416}{1{,}4142}\approx 2{,}221,\qquad T_i\approx 1{,}111,\qquad T_d\approx 0{,}2777.
Logo
\frac{1}{T_i} \approx 0{,}900316.
Multiplicando por K_p=3{,}6 o numerador do controlador obtemos (aproximações):
K_p\big(T_d s^2 + s + 1/T_i\big)\approx 3{,}6\big(0{,}277679 s^2 + s + 0{,}900316\big).
Isso dá (aproximando a 3 casas decimais)
\text{num}_{G_c}(s)\approx 0{,}9997\,s^2 + 3{,}600\,s + 3{,}241.
E o denominador do G_c(s) é s, então podemos escrever (aproximado)
G_c(s)\approx \frac{0{,}9997\,s^2 + 3{,}600\,s + 3{,}241}{s}.
(Observação: os pequenos arredondamentos acima são aceitáveis para projeto prático; se preferir, mantenha as formas exatas em termos de \pi e \sqrt{2}.)

Passo 5

Agora montamos a função de transferência em malha aberta com o controlador:
L(s)=G_c(s)G(s).
Usando a forma fracionária,
L(s)=\frac{K_p\big(T_d s^2 + s + 1/T_i\big)}{s}\cdot\frac{8}{s(s+2)(s+4)}.
Ou seja
L(s)=\frac{8K_p\big(T_d s^2 + s + 1/T_i\big)}{s^2 (s+2)(s+4)}.
Com os números aproximados calculados no passo anterior temos o numerador aproximado
\text{num}_{L}(s)\approx 28{,}8\big(0{,}277679 s^2 + s + 0{,}900316\big)\approx 7{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929.
E o denominador em polinômios:
\text{den}_{L}(s)=s^2 (s+2)(s+4)=s^2(s^2+6s+8)=s^4+6s^3+8s^2.
A função de transferência em malha fechada (do referẽncia para a saída) com realimentação unitária é
T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{\text{num}_{L}(s)}{\text{den}_{L}(s)+\text{num}_{L}(s)}.
Somando os polinômios (colocando \text{num}_L em termos dos graus correspondentes) obtemos o denominador da malha fechada:
\text{den}_{cl}(s)=s^4 + 6s^3 + \big(8 + 7{,}997\big)s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929.
Portanto, aproximadamente,
T(s)\approx \frac{7{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929}{s^4 + 6{,}000\,s^3 + 15{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929}.
Esses coeficientes são arredondados a três casas decimais; a forma exata pode ser mantida em termos de \pi e \sqrt{2} se desejar maior precisão simbólica.

Passo 6

Resumo compacto (formas exatas e aproximações importantes):
  • Valores exatos obtidos:
\omega_u = 2\sqrt{2},\qquad K_u = 6,\qquad T_u = \frac{\pi}{\sqrt{2}}.
  • Parâmetros do PID (Ziegler–Nichols):
K_p = 3{,}6,\qquad T_i = \frac{\pi}{2\sqrt{2}},\qquad T_d = \frac{\pi}{8\sqrt{2}}.
  • Controlador em forma prática:
G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right) =3{,}6\left(1+\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)s}+\frac{\pi}{8\sqrt{2}}s\right)
(ou, numericamente aproximado)
G_c(s)\approx\frac{0{,}9997\,s^2 + 3{,}600\,s + 3{,}241}{s}.
  • Função de transferência em malha fechada (aproximada):
T(s)\approx \frac{7{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929}{s^4 + 6{,}000\,s^3 + 15{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929}.
Se quiser, eu deixo as formas exatas em termos de \pi e \sqrt{2} sem aproximação numérica — é só pedir.

Resposta

G_c(s)=3{,}6\left(1+\dfrac{1}{\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)s}+\dfrac{\pi}{8\sqrt{2}}\,s\right)
T(s)=\dfrac{7{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929}{s^4 + 6{,}000\,s^3 + 15{,}997\,s^2 + 28{,}800\,s + 25{,}929} (aprox.)

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