Questão 06: Para os sistemas abaixo, cujas funções de transferência em malha aberta são
, determine os intervalos de valores de
para que eles sejam estáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
e pede: para quais valores de
o sistema em realimentação unitária será estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É sistema em malha aberta com ganho
multiplicando o numerador . - A realimentação é unitária (pressuposto implícito das questões desse tipo): a função característica do laço fechado vem de
. - Precisamos determinar o intervalo de valores de
que tornam todos os polos do laço fechado com parte real negativa (estabilidade assintótica).
Passo 2
Primeiro passo prático: obter o polinômio característico do sistema em malha fechada. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos o polinômio característico:
Agora expandimos termo a termo:
Somando os termos:
Esse é o polinômio cuja estabilidade (raízes) queremos analisar em função de
.
Passo 3
Vou usar o critério de Routh–Hurwitz porque ele diz, sem calcular raízes, condições sobre os coeficientes que garantem que todas as raízes têm parte real negativa. Regra prática para um polinômio cúbico
é construir a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (para estabilidade assintótica). Para o nosso polinômio temos:
Explico rapidamente como construir a primeira coluna para o caso cúbico:
- Linha
: primeiro elemento é (coeficiente de ). - Linha
: primeiro elemento é . - Linha
: primeiro elemento é
- Linha
: primeiro elemento é .
A estabilidade exige que cada um desses quatro números seja maior que zero.
Passo 4
Montando a tabela de Routh para o nosso caso (mostrando os cálculos):
Linha : primeiros coeficientes
e
. \
Linha : primeiros coeficientes
e
. \
Linha : primeiro elemento
Linha
Linha
Linha
Linha
: primeiro elemento
.
Portanto, a primeira coluna é
Passo 5
Agora aplicamos as condições de positividade desses elementos, uma a uma, e combinamos-as:
-
Primeira entrada:
— sempre satisfeita. -
Segunda entrada:
- Quarta entrada (última linha):
Essa já é mais restritiva que
, então até aqui temos
.
- Terceira entrada (linha
):
Como já temos
, o denominador
é positivo (porque
), então o sinal da fração é o sinal do numerador
. Com
esse produto é positivo se, e somente se,
Combinando todas as condições (especialmente
e
), obtemos
Observação sobre o caso limite
: para esse valor a entrada da linha
fica zero, o que indica margem de estabilidade — normalmente ocorre par de polos imaginários (marginalmente estável). Para estabilidade assintótica (polos estritamente no semiplano esquerdo) precisamos
estritamente maior que
.