Questão 06: Para os sistemas abaixo, cujas funções de transferência em malha aberta são \mathrm{G}(\mathrm{s}), determine os intervalos de valores de K para que eles sejam estáveis.
G(s)=\frac{k(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+2)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{k(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+2)}
e pede: para quais valores de k o sistema em realimentação unitária será estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É sistema em malha aberta com ganho k multiplicando o numerador (s+10)(s+20).
  • A realimentação é unitária (pressuposto implícito das questões desse tipo): a função característica do laço fechado vem de 1+G(s)=0.
  • Precisamos determinar o intervalo de valores de k que tornam todos os polos do laço fechado com parte real negativa (estabilidade assintótica).

Passo 2

Primeiro passo prático: obter o polinômio característico do sistema em malha fechada. Partimos de
1+G(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{k(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+2)}=0.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2) obtemos o polinômio característico:
s^{2}(s+2)+k(s+10)(s+20)=0.
Agora expandimos termo a termo:
s^{2}(s+2)=s^{3}+2s^{2},
(s+10)(s+20)=s^{2}+30s+200,
k(s+10)(s+20)=k s^{2}+30k s+200k.
Somando os termos:
\boxed{s^{3}+(2+k)s^{2}+30k\,s+200k=0}
Esse é o polinômio cuja estabilidade (raízes) queremos analisar em função de k.

Passo 3

Vou usar o critério de Routh–Hurwitz porque ele diz, sem calcular raízes, condições sobre os coeficientes que garantem que todas as raízes têm parte real negativa. Regra prática para um polinômio cúbico
s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}
é construir a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (para estabilidade assintótica). Para o nosso polinômio temos:
a_{2}=2+k,\qquad a_{1}=30k,\qquad a_{0}=200k.
Explico rapidamente como construir a primeira coluna para o caso cúbico:
  • Linha s^{3}: primeiro elemento é 1 (coeficiente de s^{3}).
  • Linha s^{2}: primeiro elemento é a_{2}.
  • Linha s^{1}: primeiro elemento é
\frac{a_{2}\cdot a_{1} - 1\cdot a_{0}}{a_{2}}.
  • Linha s^{0}: primeiro elemento é a_{0}.
    A estabilidade exige que cada um desses quatro números seja maior que zero.

Passo 4

Montando a tabela de Routh para o nosso caso (mostrando os cálculos):
Linha s^{3}: primeiros coeficientes 1 e 30k. \
Linha s^{2}: primeiros coeficientes 2+k e 200k. \
Linha s^{1}: primeiro elemento
\begin{aligned} \text{(s}^{1}\text{)} &= \frac{(2+k)\cdot(30k)-1\cdot(200k)}{2+k} \\\ &= \frac{30k(2+k)-200k}{2+k} \\\ &= \frac{k\big(30(2+k)-200\big)}{2+k} \\\ &= \frac{k(60+30k-200)}{2+k} \\\ &= \frac{k(30k-140)}{2+k}. \end{aligned}
Linha s^{0}: primeiro elemento 200k.
Portanto, a primeira coluna é
\begin{array}{c} 1 \\[4pt] 2+k \\[4pt] \displaystyle \frac{k(30k-140)}{2+k} \\[6pt] 200k \end{array}]

Passo 5

Agora aplicamos as condições de positividade desses elementos, uma a uma, e combinamos-as:
  1. Primeira entrada: 1>0 — sempre satisfeita.
  2. Segunda entrada:
2+k>0 \quad\Longrightarrow\quad k>-2.
  1. Quarta entrada (última linha):
200k>0 \quad\Longrightarrow\quad k>0.
Essa já é mais restritiva que k>-2, então até aqui temos k>0.
  1. Terceira entrada (linha s^{1}):
\frac{k(30k-140)}{2+k}>0.
Como já temos k>0, o denominador 2+k é positivo (porque k>0>-2), então o sinal da fração é o sinal do numerador k(30k-140). Com k>0 esse produto é positivo se, e somente se,
30k-140>0 \quad\Longrightarrow\quad k>\frac{140}{30}=\frac{14}{3}\approx 4{,}6667.
Combinando todas as condições (especialmente k>0 e k>14/3), obtemos
\boxed{k>\frac{14}{3}.}
Observação sobre o caso limite k=\frac{14}{3}: para esse valor a entrada da linha s^{1} fica zero, o que indica margem de estabilidade — normalmente ocorre par de polos imaginários (marginalmente estável). Para estabilidade assintótica (polos estritamente no semiplano esquerdo) precisamos k estritamente maior que \frac{14}{3}.

Resposta

k>\dfrac{14}{3}

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