Dadas as funções vetoriais F(t)=t i+t^{2} j+5 k e G(t)=t^{3} i+j e a função real h(t)=t^{2}-1, determinar:
\mathrm{h}(\mathrm{t}) \mathrm{F}(\mathrm{t}) \cdot \mathrm{G}(\mathrm{t}))

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais \displaystyle F(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}, \displaystyle G(t)=t^{3}\,\mathbf{i}+\mathbf{j}
e a real \displaystyle h(t)=t^{2}-1.
Pede-se o produto escalar \displaystyle h(t)\,F(t)\cdot G(t).
Vamos usar a propriedade de produto escalar com escalar:
h(t)\,F(t)\cdot G(t)=h(t)\,\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr).

Passo 2

Calcular primeiro o produto escalar \displaystyle F(t)\cdot G(t).
Como \displaystyle F(t)=(t,t^{2},5)
e \displaystyle G(t)=(t^{3},1,0),
temos

Passo 3

F(t)\cdot G(t) = t\cdot t^{3} \;+\; t^{2}\cdot 1 \;+\; 5\cdot 0 = t^{4} + t^{2}.

Passo 4

Agora multiplicamos pelo escalar \displaystyle h(t)=t^{2}-1:

Passo 5

h(t)\,\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr) = (t^{2}-1)\,(t^{4}+t^{2}) = t^{6} - t^{2}.

Resposta

t^{6} - t^{2}

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