Se uma bola for atirada para cima do topo de um edifício com 30 m de altura com velocidade inicial de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, então a altura h acima do solo t segundos mais tarde será
h=30+10 t-5 t^{2}
Durante que intervalo de tempo a bola estará no mínimo a 15 m acima do solo?

Passo 1

O enunciado dá a altura da bola em função do tempo
h(t) = 30 + 10t - 5t^2
e pede para achar o intervalo de t em que a bola está no mínimo a 15 m do solo.
O conteúdo envolvido é a resolução de uma inequação quadrática.

Passo 2

Escrevemos a condição h(t)\ge15:
30 + 10t - 5t^2 \ge 15.

Passo 3

Isolamos todos os termos num lado:
30 + 10t - 5t^2 - 15 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -5t^2 + 10t + 15 \ge 0.
Multiplicamos por -1 e invertemos o sinal da inequação:
5t^2 - 10t - 15 \le 0.
Dividindo por 5:
t^2 - 2t - 3 \le 0.

Passo 4

Encontramos as raízes da equação associada
t^2 - 2t - 3 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
logo as raízes são t=-1 e t=3.

Passo 5

Como o coeficiente de t^2 em t^2-2t-3 é positivo, o polinômio é \le0 entre as raízes.
Isto dá o intervalo
-1 \le t \le 3.

Passo 6

Fisicamente só faz sentido t\ge0. Portanto descartamos a parte negativa e ficamos com
0 \le t \le 3.

Resposta

A bola está no mínimo a 15 m do solo para t entre 0 s e 3 s.

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