Exercício 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido W, no primeiro octante, limitado pelos planos x+z=1, y=x, y=0 e z=0. Calcule uma das integrais.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
W = { (x,y,z) ∣ x >=0, y >=0, z >=0, y ≤ x, x+z <=1 }
no primeiro octante, limitado pelos planos x+z =1, y=x, y =0, z =0.
O conteúdo aqui é escrever as seis formas de escrever a integral tripla de volume (todas as permutações de ordem de integração) e depois calcular uma delas.

Passo 2

Para descrever W em inequações: x vai de 0 até 1,
para cada x, z vai de 0 até 1 - x,
e para cada (x,z), y vai de 0 até x.
Isto é,
0 \le y \le x,\quad 0 \le z \le 1 - x,\quad 0 \le x \le 1.

Passo 3

As seis integrais triplas iteradas que cobrem todas as ordens de x,y,z são:
\text{(1) }\int_{x=0}^{1}\,\int_{z=0}^{1-x}\,\int_{y=0}^{x} dy\,dz\,dx
\text{(2) }\int_{z=0}^{1}\,\int_{x=0}^{1-z}\,\int_{y=0}^{x} dy\,dx\,dz
\text{(3) }\int_{x=0}^{1}\,\int_{y=0}^{x}\,\int_{z=0}^{1-x} dz\,dy\,dx
\text{(4) }\int_{y=0}^{1}\,\int_{x=y}^{1}\,\int_{z=0}^{1-x} dz\,dx\,dy
\text{(5) }\int_{z=0}^{1}\,\int_{y=0}^{1-z}\,\int_{x=y}^{1-z} dx\,dy\,dz
\text{(6) }\int_{y=0}^{1}\,\int_{z=0}^{1-y}\,\int_{x=y}^{1-z} dx\,dz\,dy

Passo 4

Vamos calcular a integral (1):
\int_{x=0}^{1}\,\int_{z=0}^{1-x}\,\int_{y=0}^{x} dy\,dz\,dx.
Internamente,
\int_{y=0}^{x} dy = x.
Então a integral vira
\int_{x=0}^{1}\,\int_{z=0}^{1-x} x \,dz\,dx =\int_{x=0}^{1} x\bigl[(1-x)-0\bigr]dx =\int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)dx.
Agora,
\int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)dx =\left[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1 =\tfrac12 - \tfrac13 =\tfrac{1}{6}.

Resposta

O volume de W é \displaystyle \tfrac{1}{6}, e as seis formas de escrever a integral tripla estão dadas em (1)–(6) acima.

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