Exercício 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido
, no primeiro octante, limitado pelos planos
e
. Calcule uma das integrais.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
W = { (x,y,z) ∣ x , y
, z
, y ≤ x,
}
no primeiro octante, limitado pelos planos ,
, y
, z
.
O conteúdo aqui é escrever as seis formas de escrever a integral tripla de volume (todas as permutações de ordem de integração) e depois calcular uma delas.
W = { (x,y,z) ∣ x
no primeiro octante, limitado pelos planos
O conteúdo aqui é escrever as seis formas de escrever a integral tripla de volume (todas as permutações de ordem de integração) e depois calcular uma delas.
Passo 2
Para descrever W em inequações:
vai de 0 até 1,
para cada ,
vai de 0 até
,
e para cada ,
vai de 0 até
.
Isto é,
para cada
e para cada
Isto é,
Passo 3
As seis integrais triplas iteradas que cobrem todas as ordens de
são:
Passo 4
Vamos calcular a integral (1):
Internamente,
Então a integral vira
Agora,
Resposta
O volume de
é
, e as seis formas de escrever a integral tripla estão dadas em (1)–(6) acima.