Dadas as funções vetoriais F(t)=\langle 2 t, t, 1\rangle e G(t)=\langle 0,3, \sqrt{t}\rangle e a função escalar h(t)=5 t, calcule:
\lim _{t \rightarrow 0}[F(t) \cdot G(t)].

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais \displaystyle F(t)=\langle 2t,\,t,\,1\rangle e \displaystyle G(t)=\langle 0,\,3,\,\sqrt{t}\rangle
e pede o limite \displaystyle \lim_{t\to0}[\,F(t)\cdot G(t)\,].
O conteúdo envolvido é o cálculo de produto interno de vetores coordenada a coordenada e propriedades de limites de soma e de funções elementares.

Passo 2

Usamos a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3:
F(t)\cdot G(t) = (2t)\cdot 0 \;+\; t\cdot 3 \;+\; 1\cdot \sqrt{t}.

Passo 3

Simplificando os termos, obtemos
F(t)\cdot G(t) = 0 \;+\; 3t \;+\; \sqrt{t} = 3t + \sqrt{t}.

Passo 4

Para calcular o limite, usamos que \lim_{t\to0}3t=0 e \lim_{t\to0}\sqrt{t}=0.
Logo,
\lim_{t\to0}(3t + \sqrt{t}) = 0 + 0 = 0.

Resposta

0

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