Resolva as EDOs abaixo.
\left(4 y+y x^{2}\right) d y=\left(2 x+x y^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(4y + x^2y\bigr)\,dy \;=\;\bigl(2x + xy^2\bigr)\,dx
que é uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos resolver procurando primeiro se ela é exata e, se não for, achar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Colocando tudo em M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, temos
M(x,y) = -\bigl(2x + x\,y^2\bigr), \quad N(x,y) = 4y + x^2y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -2x\,y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x\,y,
como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x). Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \;=\; \frac{-2x\,y - 2x\,y}{y(4 + x^2)} \;=\; \frac{-4x}{4+x^2},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{-4x}{4+x^2}\,dx\Bigr) = \exp\!\bigl(-2\ln(4+x^2)\bigr) = (4+x^2)^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
-\frac{x(2+y^2)}{(4+x^2)^2}\,dx \;+\; \frac{y}{4+x^2}\,dy =0.
Chamando
M^*(x,y) = -\frac{x(2+y^2)}{(4+x^2)^2}, \quad N^*(x,y) = \frac{y}{4+x^2},
vemos que
\frac{\partial M^*}{\partial y} = -\frac{2x\,y}{(4+x^2)^2}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} = -\frac{2x\,y}{(4+x^2)^2},
ou seja, agora é exata.

Passo 5

Buscamos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M^*(x,y).
Integrando em x:
\varphi(x,y) = \int -\frac{x(2+y^2)}{(4+x^2)^2}\,dx = -(2+y^2)\int\frac{x}{(x^2+4)^2}\,dx = \frac{2+y^2}{2(x^2+4)} + h(y).
Agora exigimos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{y}{x^2+4} + h'(y) \;=\; N^*(x,y) = \frac{y}{x^2+4},
de onde h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita é
\varphi(x,y) = \frac{2+y^2}{2(x^2+4)} = C.
Multiplicando por 2(x^2+4), obtemos a forma mais simples
y^2 + 2 = K\,(x^2+4),
onde K=2C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{y^2 + 2}{x^2 + 4} = C,
ou equivalentemente
y^2 + 2 = K\,(x^2 + 4),
com C (ou K) constante de integração.

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