Sejam F(t)=\left\langle t, 2 t^{2}, 3 t^{3}\right\rangle e G(t)=\left\langle 2 t, 1,-3 t^{2}\right\rangle. Calcule
\lim _{t \rightarrow 1}\left[3 F(t)-\frac{1}{2} G(t)\right]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais \displaystyle F(t)=\langle t,\,2t^{2},\,3t^{3}\rangle e \displaystyle G(t)=\langle 2t,\,1,\,-3t^{2}\rangle
e pede o limite \displaystyle \lim_{t\to1}\bigl[3F(t)-\tfrac12\,G(t)\bigr].
O conteúdo é limites de funções vetoriais e usaremos a linearidade do limite.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade do limite vale
\lim_{t\to1}\bigl[3F(t)-\tfrac12\,G(t)\bigr] =3\lim_{t\to1}F(t)\;-\;\tfrac12\,\lim_{t\to1}G(t).

Passo 3

Como cada coordenada de F e G é um polinômio em t, elas são contínuas. Logo
\lim_{t\to1}F(t)=F(1) =\langle 1,\,2\cdot1^{2},\,3\cdot1^{3}\rangle =\langle1,2,3\rangle,
\lim_{t\to1}G(t)=G(1) =\langle 2\cdot1,\,1,\,-3\cdot1^{2}\rangle =\langle2,1,-3\rangle.

Passo 4

Substituindo na combinação linear temos
3F(1)-\tfrac12\,G(1) =3\langle1,2,3\rangle -\tfrac12\,\langle2,1,-3\rangle.

Passo 5

Calculemos cada parte:
3\langle1,2,3\rangle=\langle3,6,9\rangle, \quad \tfrac12\,\langle2,1,-3\rangle=\langle1,\tfrac12,-\tfrac32\rangle.
Subtraindo coordenada a coordenada:
\langle3,6,9\rangle -\langle1,\tfrac12,-\tfrac32\rangle =\bigl\langle 3-1,\;6-\tfrac12,\;9-(-\tfrac32)\bigr\rangle =\bigl\langle 2,\;\tfrac{11}{2},\;\tfrac{21}{2}\bigr\rangle.

Resposta

\displaystyle \bigl\langle 2,\tfrac{11}{2},\tfrac{21}{2}\bigr\rangle

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