Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
2.
f(s)=4\left(\frac{3 s^{2}+2 s}{2 s+1}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(s)=4\left(\frac{3s^{2}+2s}{2s+1}\right)^{-2}
em relação a s. O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia aplicada a uma potência composta com uma função quociente. Vamos definir
g(s)=\frac{3s^{2}+2s}{2s+1}
para tratar f(s)=4\,[g(s)]^{-2}.

Passo 2

Usando a Regra da Cadeia para
f(s)=4\,[g(s)]^{-2}
temos
f'(s) =4\cdot(-2)\,[g(s)]^{-3}\cdot g'(s) =-8\,[g(s)]^{-3}\,g'(s).

Passo 3

Agora calculamos g'(s) por Regra do Quociente. Para
g(s)=\frac{3s^{2}+2s}{2s+1}
temos
g'(s) =\frac{(6s+2)\,(2s+1)\;-\;(3s^{2}+2s)\,2}{(2s+1)^{2}}.
No numerador,
(6s+2)(2s+1)-(3s^{2}+2s)\,2 =12s^{2}+6s+4s+2-6s^{2}-4s =6s^{2}+6s+2 =2\,(3s^{2}+3s+1).
Logo,
g'(s) =\frac{2\,(3s^{2}+3s+1)}{(2s+1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo g(s) e g'(s) em
f'(s)=-8\,[g(s)]^{-3}\,g'(s),
obtemos
f'(s) =-8\;\Bigl(\frac{3s^{2}+2s}{2s+1}\Bigr)^{-3} \;\cdot\; \frac{2\,(3s^{2}+3s+1)}{(2s+1)^{2}}.
Reescrevendo \bigl(\tfrac{3s^{2}+2s}{2s+1}\bigr)^{-3}=(\tfrac{2s+1}{3s^{2}+2s})^{3} e agrupando fatores, temos
f'(s) =-16\;\frac{3s^{2}+3s+1}{(2s+1)^{2}}\;\frac{(2s+1)^{3}}{(3s^{2}+2s)^{3}} =-16\;\frac{(3s^{2}+3s+1)\,(2s+1)}{(3s^{2}+2s)^{3}}.

Resposta

f'(s)=-16\,\frac{(3s^{2}+3s+1)\,(2s+1)}{(3s^{2}+2s)^{3}}.

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