Dadas as funções y=f(x) a seguir, determine, se possível, as funções inversas y=f^{-1}(x). Determine também D_{f} e D_{f^{-1}}.
i) y=3^{x+1};

Passo 1

O enunciado dá a função exponencial
y = 3^{x+1}
e pede a sua inversa y = f^{-1}(x), bem como os domínios D_{f} e D_{f^{-1}}. Para isso vamos usar a propriedade de que funções exponenciais estritamente crescentes são bijetoras de \R em (0,\infty) e saber manipular logaritmos.

Passo 2

Como a base 3>1, a função \,x\mapsto 3^{x+1} é estritamente crescente e contínua em todo \R, e seus valores cobrem todo o intervalo (0,\infty). Logo ela é invertível com
D_{f} = \R \quad\text{e}\quad \text{Im}(f) = (0,\infty).

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y = 3^{x+1}.
Aplicando logaritmo de base 3 em ambos os lados,
\log_{3}(y) = x + 1.
Isolando x, obtemos
x = \log_{3}(y) - 1.

Passo 4

Na função inversa trocamos o papel de x e y, de modo que
f^{-1}(x) = \log_{3}(x) - 1.
O domínio de f^{-1} é o conjunto de valores de saída de f, ou seja, (0,\infty).

Resposta

f^{-1}(x) = \log_{3}(x) - 1 D_{f} = (-\infty,\infty) D_{f^{-1}} = (0,\infty)

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