Questão 1: Determine a função de transferência para o modelo abaixo:
2 \frac{d y(t)}{d t}+8 y(t)=2 x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2 \frac{d y(t)}{d t} + 8\,y(t) = 2\,x(t)
e pede a função de transferência do sistema linear e invariante, ou seja, a razão H(s)=Y(s)/X(s) no domínio de Laplace. Para isso, vamos usar a transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Como as condições iniciais são nulas, vale
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{d y(t)}{dt}\Bigr\} = s\,Y(s).
Logo, transformando a equação original, obtemos
2\,[s\,Y(s)] \;+\; 8\,Y(s) \;=\; 2\,X(s).

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo, temos
Y(s)\,\bigl(2s + 8\bigr) = 2\,X(s).
Portanto, a função de transferência é
H(s) \;=\; \frac{Y(s)}{X(s)} \;=\; \frac{2}{2s + 8} \;=\; \frac{1}{s + 4}.

Resposta

H(s) = \frac{1}{s + 4}.

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