Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=\frac{1}{x-1} e g(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=\frac{1}{x-1} e g(x)=\sqrt{x}
e pede as quatro compostas (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x).
Para isso usamos a definição de composição: (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr), etc.,
substituindo uma função na outra e depois simplificando.

Passo 2

Para (f\circ g)(x) aplicamos g primeiro e em seguida f. Substituindo g(x)=\sqrt{x} em f temos
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}.

Passo 3

Para (g\circ f)(x) aplicamos f e depois g. Como f(x)=\frac{1}{x-1}, obtemos
(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}} =\frac{1}{\sqrt{x-1}}.

Passo 4

Para (f\circ f)(x) substituímos f(x) em si mesma:
(f\circ f)(x) =\frac{1}{\dfrac{1}{x-1}-1} =\frac{1}{\frac{1-(x-1)}{x-1}} =\frac{1}{\frac{2-x}{x-1}} =\frac{x-1}{2-x}.

Passo 5

Para (g\circ g)(x) aplicamos g duas vezes:
(g\circ g)(x)=\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} (g\circ f)(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}} (f\circ f)(x)=\frac{x-1}{2-x} (g\circ g)(x)=x^{1/4}

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