Questão 4: Calcule a resposta completa do sistema LCIT representado na equação abaixo para x(t)=-4 \underline{u(t)}. A condiçăo inicial é y\left(0^{\prime}\right)=2. Utilizar técnicas no domínio da frequência. 2 \frac{d y(t)}{d t}+8 y(t)=2 x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem para um sistema LCIT causual, com entrada \displaystyle x(t)=-4\,u(t)
e condição inicial \displaystyle y(0^-)=2.
A equação é
2\,\frac{d y(t)}{d t} + 8\,y(t) = 2\,x(t).
Vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta completa y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que \mathcal{L}\{\tfrac{d y}{dt}\}=s\,Y(s)-y(0^-)
e \mathcal{L}\{u(t)\}=1/s, obtemos
2\bigl[s\,Y(s)-y(0^-)\bigr] \;+\;8\,Y(s)\;=\;2\,X(s).
Como y(0^-)=2 e X(s)=\mathcal{L}\{-4\,u(t)\}=-\tfrac{4}{s}, a equação no domínio s fica
2s\,Y(s) - 2\cdot 2 + 8\,Y(s) = 2\!\bigl(-\tfrac{4}{s}\bigr).

Passo 3

Reorganizando para isolar Y(s):
(2s+8)\,Y(s) - 4 = -\tfrac{8}{s} \quad\Longrightarrow\quad (2s+8)\,Y(s) = 4 - \tfrac{8}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{4 - \tfrac{8}{s}}{2(s+4)}.

Passo 4

Simplificando Y(s):
Y(s) = \frac{4}{2(s+4)} \;-\;\frac{8}{s}\,\frac{1}{2(s+4)} = \frac{2}{s+4} \;-\;\frac{4}{s(s+4)}.
Fazendo frações parciais em \tfrac{4}{s(s+4)}:
\frac{4}{s(s+4)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+4}.
Logo
Y(s) = \frac{2}{s+4} -\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4}\Bigr) = -\frac{1}{s} + \frac{3}{s+4}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1}{s}\Bigr\} = -1\,, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{s+4}\Bigr\} = 3\,e^{-4t}.
Portanto, para t\ge0:
y(t) = \bigl(3\,e^{-4t} - 1\bigr)\,u(t).

Resposta

\boxed{y(t)=\bigl(3\,e^{-4t}-1\bigr)\,u(t).}

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