Dadas:
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ -2 & 6 \end{array}\right]
determinar a matriz 3.
\left(2 A^{T}-\frac{1}{2} B\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ -2 & 6 \end{array}\right]
e pede para determinar a matriz
\left(2A^{T}-\frac{1}{2}B\right)^{T}.
Informações relevantes: as entradas das matrizes A e B estão todas fornecidas; a operação envolve transposição, multiplicação por escalar e subtração de matrizes; o resultado final é a transposição da matriz obtida em 2A^{T}-\tfrac{1}{2}B.

Passo 2

Vou escolher um método direto e elementar: calcular A^{T}, multiplicar por 2, calcular \tfrac{1}{2}B, fazer a subtração elemento a elemento e, por fim, transpor o resultado. Justificativa: essas operações são simples e evitam manipulações simbólicas mais abstratas — é o que normalmente se faz numa prova sem complicar coisas.

Passo 3

Lembrete rápido sobre transposição: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Ou seja, se
M=\left[\begin{array}{cc} m_{11} & m_{12}\\[4pt] m_{21} & m_{22} \end{array}\right],
então
M^{T}=\left[\begin{array}{cc} m_{11} & m_{21}\\[4pt] m_{12} & m_{22} \end{array}\right].
Aplicando isso a A, obtemos
A^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right].
(Explicação: a primeira coluna de A^{T} é a primeira linha de A, e assim por diante.)]

Passo 4

Agora multiplicamos A^{T} pelo escalar 2. Regra: multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada pelo escalar. Então
2A^{T}=2\cdot\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right].

Passo 5

Calculamos \tfrac{1}{2}B. Mesma ideia: multiplicar cada entrada de B por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}B=\frac{1}{2}\cdot\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ -2 & 6 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right].

Passo 6

Fazemos agora a subtração de matrizes: subtrai-se cada entrada correspondente. Assim,
2A^{T}-\frac{1}{2}B = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2-2 & 0-0 \\\\ 2-(-1) & -2-3 \end{array}\right].
Calculando cada entrada:
2-2=0,\qquad 0-0=0,\qquad 2-(-1)=3,\qquad -2-3=-5,
logo
2A^{T}-\frac{1}{2}B=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 3 & -5 \end{array}\right].

Passo 7

Finalmente, transpondo a matriz obtida: aplicar a troca linha↔coluna. Assim,
\left(2A^{T}-\frac{1}{2}B\right)^{T} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 3 \\\\ 0 & -5 \end{array}\right].
(Verificação rápida: a primeira linha (0,0) vira a primeira coluna, e a segunda linha (3,-5) vira a segunda coluna.)

Resposta

\left[\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 0 & -5 \end{array}\right]

Exercícios relacionados