Informações relevantes que vamos usar: são três equações lineares com três incógnitas x, y, z. Vamos transformar o sistema em forma matricial aumentada e aplicar escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar a solução e determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.]
Passo 2
Escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação e as colunas às variáveis x,y,z e ao termo independente:
Explicação rápida das operações permitidas (operações elementares de linha): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo do escalonamento é obter zeros abaixo dos pivôs (elementos principais) para triangularizar a matriz.]
Passo 3
Primeiro passo do escalonamento: usar o pivô na posição (1,1), que é 1, para zerar as entradas abaixo dele nas colunas correspondentes. Fazemos:
Próximo pivô é a entrada (2,2), que é -5. Usamos esse pivô para zerar a entrada abaixo dele na coluna 2. Podemos calcular o fator de eliminação como \dfrac{-6}{-5}=\dfrac{6}{5}. Aplicamos:
Encontrar x usando a primeira equação original (ou a primeira linha escalonada), que é
x + 2y - 3z = -15.
Substituindo y=-1 e z=5,
x + 2(-1) - 3\cdot 5 = -15 \quad\Rightarrow\quad x -2 -15 = -15 \quad\Rightarrow\quad x -17 = -15 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Passo 8
Classificação do sistema: durante o escalonamento obtivemos três pivôs não nulos (nas colunas 1, 2 e 3), ou seja, a matriz de coeficientes tem posto 3 e o número de incógnitas também é 3. Logo o sistema é compatível determinado (tem solução única). A solução encontrada é o triplo (x,y,z) = (2,-1,5).