Problema 9 Classificar e resolver o sistema, use a forma matricial ou o escalonamento.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=-15 \\ 2 x-y+z=10 \\ 3 x-z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver o sistema. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+2y-3z=-15,\\[4pt] 2x-y+z=10,\\[4pt] 3x-z=1. \end{cases}
Informações relevantes que vamos usar: são três equações lineares com três incógnitas x, y, z. Vamos transformar o sistema em forma matricial aumentada e aplicar escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar a solução e determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.]

Passo 2

Escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação e as colunas às variáveis x,y,z e ao termo independente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -15\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 10\\[4pt] 3 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]
Explicação rápida das operações permitidas (operações elementares de linha): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo do escalonamento é obter zeros abaixo dos pivôs (elementos principais) para triangularizar a matriz.]

Passo 3

Primeiro passo do escalonamento: usar o pivô na posição (1,1), que é 1, para zerar as entradas abaixo dele nas colunas correspondentes. Fazemos:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos linha a linha:
Para R_2: (2,-1,1\mid 10) - 2(1,2,-3\mid -15) = (2-2,\, -1-4,\, 1+6\mid 10+30) = (0,-5,7\mid 40).
Para R_3: (3,0,-1\mid 1) - 3(1,2,-3\mid -15) = (3-3,\,0-6,\, -1+9\mid 1+45) = (0,-6,8\mid 46).
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -15\\[4pt] 0 & -5 & 7 & 40\\[4pt] 0 & -6 & 8 & 46 \end{array}\right]]

Passo 4

Próximo pivô é a entrada (2,2), que é -5. Usamos esse pivô para zerar a entrada abaixo dele na coluna 2. Podemos calcular o fator de eliminação como \dfrac{-6}{-5}=\dfrac{6}{5}. Aplicamos:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{6}{5}R_2.
Calculemos componente a componente:
  • Coluna 2: -6 - \dfrac{6}{5}\cdot(-5) = -6 +6 = 0 (como esperado).
  • Coluna 3: 8 - \dfrac{6}{5}\cdot 7 = 8 - \dfrac{42}{5} = \dfrac{40}{5}-\dfrac{42}{5} = -\dfrac{2}{5}.
  • Termo independente: 46 - \dfrac{6}{5}\cdot 40 = 46 - 48 = -2.
    A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -15\\[4pt] 0 & -5 & 7 & 40\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{2}{5} & -2 \end{array}\right]]

Passo 5

A última linha corresponde à equação com uma única incógnita z:
-\dfrac{2}{5}z = -2.
Isolando z, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de -\dfrac{2}{5}, que é -\dfrac{5}{2}:
z = \frac{-2}{-\tfrac{2}{5}} = -2\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)=5.
Portanto \,z=5.

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar y usando a segunda linha escalonada, que representa
-5y + 7z = 40.
Substituindo z=5,
-5y + 7\cdot 5 = 40 \quad\Rightarrow\quad -5y +35 = 40 \quad\Rightarrow\quad -5y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = -1.

Passo 7

Encontrar x usando a primeira equação original (ou a primeira linha escalonada), que é
x + 2y - 3z = -15.
Substituindo y=-1 e z=5,
x + 2(-1) - 3\cdot 5 = -15 \quad\Rightarrow\quad x -2 -15 = -15 \quad\Rightarrow\quad x -17 = -15 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 8

Classificação do sistema: durante o escalonamento obtivemos três pivôs não nulos (nas colunas 1, 2 e 3), ou seja, a matriz de coeficientes tem posto 3 e o número de incógnitas também é 3. Logo o sistema é compatível determinado (tem solução única). A solução encontrada é o triplo (x,y,z) = (2,-1,5).

Resposta

Sistema compatível determinado.
x=2
y=-1
z=5

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