Determine a, b, c, x, y e z para que a matriz
\left[\begin{array}{ccc} 2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1 \end{array}\right]
seja anti-simetrica.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a,\;b,\;c,\;x,\;y,\;z tais que a matriz
\begin{bmatrix} 2x & a+b & a-2b \\\\ -6 & y^{2} & 2c \\\\ 5 & 8 & z-1 \end{bmatrix}
seja anti-simétrica. As informações dadas são exatamente os nove elementos acima; precisamos obter condições sobre eles para que a matriz satisfaça a propriedade de anti-simetria e então resolver para as seis incógnitas.

Passo 2

Primeira propriedade importante (aqui explico o que significa, passo a passo): uma matriz A é anti-simétrica se vale
A^{T} = -A.
Isto implica duas coisas essenciais:
  1. Todas as entradas da diagonal principal satisfazem a_{ii} = -a_{ii}. Isso só é possível se
2a_{ii}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{ii}=0.
  1. Para entradas fora da diagonal, para todo i\neq j vale
a_{ij} = -a_{ji}.
Agora aplicamos a condição 1) às entradas da diagonal da matriz dada.

Passo 3

Aplicando a diagonal zero às entradas da matriz:
  • A posição (1,1) é 2x. Pela condição diagonal:
2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
  • A posição (2,2) é y^{2}. Pela condição diagonal:
y^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0,
aqui estou assumindo que trabalhamos com números reais (portanto a única solução real de y^{2}=0 é y=0).
  • A posição (3,3) é z-1. Pela condição diagonal:
z-1 = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 1.

Passo 4

Agora aplicamos a condição 2) às entradas fora da diagonal, equacionando cada par simétrico:
  • Para o par (1,2) e (2,1): temos a_{12}=a+b e a_{21}=-6. A condição a_{12}=-a_{21}
a+b = -(-6) = 6.
Portanto
\boxed{a+b=6}.
  • Para o par (1,3) e (3,1): temos a_{13}=a-2b e a_{31}=5. A condição a_{13}=-a_{31}
a-2b = -5.
Portanto
\boxed{a-2b=-5}.
  • Para o par (2,3) e (3,2): temos a_{23}=2c e a_{32}=8. A condição a_{23}=-a_{32}
2c = -8 \quad\Rightarrow\quad c = -4.

Passo 5

Restou resolver o sistema linear em a\) e \(b\): \[\begin{cases} a+b=6,\\[4pt] a-2b=-5. \end{cases}
Vou eliminar a\] subtraindo a segunda equação da primeira: \[(a+b) - (a-2b) = 6 - (-5).\] No lado esquerdo \(a+b-a+2b = 3b. No lado direito 6+5=11. Logo
3b = 11 \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{11}{3}.
Agora obtenho a usando a+b=6:
a = 6 - b = 6 - \dfrac{11}{3} = \dfrac{18-11}{3} = \dfrac{7}{3}.]

Passo 6

Resumo das soluções encontradas (checagem rápida mental): c veio de 2c=-8 e deu c=-4. As diagonais deram x=0,\;y=0,\;z=1. E o sistema linear deu a=\dfrac{7}{3},\;b=\dfrac{11}{3}. Essas soluções satisfazem todas as igualdades utilizadas.

Resposta

a=\dfrac{7}{3}
b=\dfrac{11}{3}
c=-4
x=0
y=0
z=1

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