Problema 1 Questão 1 Escreva a matriz A=\left(a_{i j}\right) quadrada de ordem 4, tal que:
\begin{cases}2 i, & \text { se }, i<j \\\ i-j, & \text { se }, i=j \\\\ 2 j, & \text { se } i>j\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz quadrada A=(a_{ij})\) de ordem \(4\) cujos elementos são dados pela regra: \[a_{ij}= \begin{cases} 2i, & \text{se } i<j,\\[4pt] i-j, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2j, & \text{se } i>j. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A matriz tem ordem 4\], então \(i e j variam em \{1,2,3,4\}.
  • Para cada par (i,j) devemos aplicar a condição correta ( i<j, i=j ou i>j) e calcular o valor correspondente.
  • O objetivo final é apresentar a matriz A completa, com todas as entradas a_{ij}.]

Passo 2

Como vamos montar a matriz: cada entrada a_{ij} depende apenas de i e j. Vou percorrer as linhas (valores de i) e, para cada linha, calcular as colunas (valores de j) aplicando a condição apropriada. Dica prática: a diagonal corresponde a i=j e aí a_{ii}=i-i=0. Para i\neq j, a entrada é 2 vezes o menor entre i e j (pois se i<j 2i, e se i>j 2j) — guardaremos essa observação para simplificar depois.

Passo 3

Calcular a primeira linha ( i=1):
  • Para j=1: temos i=j, logo a_{11}=1-1=0.
  • Para j=2: i<j, logo a_{12}=2i=2\cdot 1=2.
  • Para j=3: i<j, logo a_{13}=2\cdot 1=2.
  • Para j=4: i<j, logo a_{14}=2\cdot 1=2.
    Assim, a primeira linha é \bigl[0,\;2,\;2,\;2\bigr].

Passo 4

Calcular a segunda linha ( i=2):
  • Para j=1: i>j, logo a_{21}=2j=2\cdot 1=2.
  • Para j=2: i=j, logo a_{22}=2-2=0.
  • Para j=3: i<j, logo a_{23}=2i=2\cdot 2=4.
  • Para j=4: i<j, logo a_{24}=2\cdot 2=4.
    Assim, a segunda linha é \bigl[2,\;0,\;4,\;4\bigr].

Passo 5

Calcular a terceira linha ( i=3):
  • Para j=1: i>j, logo a_{31}=2j=2\cdot 1=2.
  • Para j=2: i>j, logo a_{32}=2j=2\cdot 2=4.
  • Para j=3: i=j, logo a_{33}=3-3=0.
  • Para j=4: i<j, logo a_{34}=2i=2\cdot 3=6.
    Assim, a terceira linha é \bigl[2,\;4,\;0,\;6\bigr].

Passo 6

Calcular a quarta linha ( i=4):
  • Para j=1: i>j, logo a_{41}=2j=2\cdot 1=2.
  • Para j=2: i>j, logo a_{42}=2j=2\cdot 2=4.
  • Para j=3: i>j, logo a_{43}=2j=2\cdot 3=6.
  • Para j=4: i=j, logo a_{44}=4-4=0.
    Assim, a quarta linha é \bigl[2,\;4,\;6,\;0\bigr].

Passo 7

Observação útil (compacta): para i\neq j temos a_{ij}=2\min(i,j), e para i=j temos a_{ii}=0. Agora juntamos todas as linhas para formar a matriz completa.

Resposta

A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 4 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 0 & 6\\[4pt] 2 & 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}]

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