Dadas
\mathbb{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \mathbb{B}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -4 \\\\ 5 & 4 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right)
determine \mathbb{C}=\mathbb{A B} e \mathbb{D}=\mathbb{B}^{T} \mathbb{A}^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os produtos de matrizes
\mathbb{C} = \mathbb{A}\,\mathbb{B} e \mathbb{D} = \mathbb{B}^{T}\,\mathbb{A}^{T}.
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes e uso de transposta.

Passo 2

Vamos primeiro ver as dimensões para \mathbb{C}=\mathbb{A}\,\mathbb{B}.
A matriz \mathbb{A} é de ordem 2\times 3 e \mathbb{B} é de ordem 3\times 2.
Como o número de colunas de \mathbb{A} ( 3) coincide com o número de linhas de \mathbb{B} ( 3), o produto está bem definido e resulta numa matriz 2\times 2.
O elemento genérico de \mathbb{C} é
c_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.

Passo 3

Calcular a primeira linha de \mathbb{C}:
c_{11} = (-1)\cdot3 + 3\cdot5 + 2\cdot(-1) = -3 + 15 - 2 = 10,
c_{12} = (-1)\cdot(-4) + 3\cdot4 + 2\cdot0 = 4 + 12 + 0 = 16.

Passo 4

Calcular a segunda linha de \mathbb{C}:
c_{21} = 2\cdot3 + (-2)\cdot5 + 0\cdot(-1) = 6 - 10 + 0 = -4,
c_{22} = 2\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + 0\cdot0 = -8 - 8 + 0 = -16.

Passo 5

Assim,
\mathbb{C} = \mathbb{A}\,\mathbb{B} = \begin{pmatrix}10 & 16 \\\\ -4 & -16\end{pmatrix}.

Passo 6

Agora vemos \mathbb{D}=\mathbb{B}^{T}\,\mathbb{A}^{T}.
\mathbb{B}^{T} é 2\times3 e \mathbb{A}^{T} é 3\times2, de modo que o produto existe e dá uma 2\times2.
A regra é a mesma:
d_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} b^{T}_{ik}\,a^{T}_{kj}.

Passo 7

Calcular a primeira linha de \mathbb{D}:
d_{11} = 3\cdot(-1) + 5\cdot3 + (-1)\cdot2 = -3 + 15 - 2 = 10,
d_{12} = 3\cdot2 + 5\cdot(-2) + (-1)\cdot0 = 6 - 10 + 0 = -4.

Passo 8

Calcular a segunda linha de \mathbb{D}:
d_{21} = (-4)\cdot(-1) + 4\cdot3 + 0\cdot2 = 4 + 12 + 0 = 16,
d_{22} = (-4)\cdot2 + 4\cdot(-2) + 0\cdot0 = -8 - 8 + 0 = -16.

Resposta

\displaystyle \mathbb{C} = \begin{pmatrix}10 & 16 \\\\ -4 & -16\end{pmatrix}
\displaystyle \mathbb{D} = \begin{pmatrix}10 & -4 \\\\ 16 & -16\end{pmatrix}

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