determine \mathbb{C}=\mathbb{A B} e \mathbb{D}=\mathbb{B}^{T} \mathbb{A}^{T}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os produtos de matrizes \mathbb{C} = \mathbb{A}\,\mathbb{B} e \mathbb{D} = \mathbb{B}^{T}\,\mathbb{A}^{T}.
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes e uso de transposta.
Passo 2
Vamos primeiro ver as dimensões para \mathbb{C}=\mathbb{A}\,\mathbb{B}.
A matriz \mathbb{A} é de ordem 2\times 3 e \mathbb{B} é de ordem 3\times 2.
Como o número de colunas de \mathbb{A} (3) coincide com o número de linhas de \mathbb{B} (3), o produto está bem definido e resulta numa matriz 2\times 2.
O elemento genérico de \mathbb{C} é
c_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Passo 3
Calcular a primeira linha de \mathbb{C}: c_{11} = (-1)\cdot3 + 3\cdot5 + 2\cdot(-1) = -3 + 15 - 2 = 10, c_{12} = (-1)\cdot(-4) + 3\cdot4 + 2\cdot0 = 4 + 12 + 0 = 16.
Passo 4
Calcular a segunda linha de \mathbb{C}: c_{21} = 2\cdot3 + (-2)\cdot5 + 0\cdot(-1) = 6 - 10 + 0 = -4, c_{22} = 2\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + 0\cdot0 = -8 - 8 + 0 = -16.
Agora vemos \mathbb{D}=\mathbb{B}^{T}\,\mathbb{A}^{T}. \mathbb{B}^{T} é 2\times3 e \mathbb{A}^{T} é 3\times2, de modo que o produto existe e dá uma 2\times2.
A regra é a mesma: