Dadas \mathbb{A}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 3 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \mathbb{B}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -4 \\\\ 5 & 4 \end{array}\right) determine \mathbb{X}=\frac{1}{2} \mathbb{A}-2 \mathbb{B}^{T} e sua transposta \mathbb{X}^{T}. Passo 1O enunciado dá \mathbb{A}=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \mathbb{B}=\begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix} e pede \mathbb{X}=\tfrac12\mathbb{A}-2\mathbb{B}^{T} e sua transposta \mathbb{X}^{T}. Vamos usar operações de multiplicação por escalar, transposta de matriz e soma/subtração de matrizes. Passo 2Multiplicamos \mathbb{A} por \tfrac12: \tfrac12\,\mathbb{A} = \tfrac12 \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac32 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}. Passo 3Calculamos a transposta de \mathbb{B}: \mathbb{B}^{T} = \begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ -4 & 4\end{pmatrix}. Passo 4Multiplicamos \mathbb{B}^{T} por -2: -2\,\mathbb{B}^{T} = -2 \begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ -4 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 & -10 \\\\ 8 & -8\end{pmatrix}. Passo 5Agora subtraímos matrizes para obter \mathbb{X}: \mathbb{X} = \tfrac12\,\mathbb{A} \;-\; 2\,\mathbb{B}^{T} = \begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac32 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 & -10 \\\\ 8 & -8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12-6 & \tfrac32-10 \\[6pt] 1+8 & -1-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{13}{2} & -\tfrac{17}{2} \\[3pt] 9 & -9 \end{pmatrix}.] Passo 6Para achar \mathbb{X}^{T}, basta trocar linhas por colunas em \mathbb{X}: \mathbb{X}^{T} = \begin{pmatrix} -\tfrac{13}{2} & -\tfrac{17}{2} \\[3pt] 9 & -9 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} -\tfrac{13}{2} & 9 \\[3pt] -\tfrac{17}{2} & -9 \end{pmatrix}.] Resposta \mathbb{X} = \begin{pmatrix} -\tfrac{13}{2} & -\tfrac{17}{2} \\[3pt] 9 & -9 \end{pmatrix}, \qquad \mathbb{X}^{T} = \begin{pmatrix} -\tfrac{13}{2} & 9 \\[3pt] -\tfrac{17}{2} & -9 \end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a matriz \mathbb{X} nos seguintes casos: \frac{3}{2} \mathbb{X}+\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{array}\right) Determine a matriz \mathbb{X} nos seguintes casos: \mathbb{X}+\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -4 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 5\end{array}\right) Construa uma matriz linha \mathbb{A} com 3 elementos cuja regra de formação é dada por a_{i j}=2^{-i} para i=1,2,3 e j=1. Dadas \mathbb{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \mathbb{B}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -4 \\\\ 5 & 4 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right) determine \mathbb{C}=\mathbb{A B} e \mathbb{D}=\mathbb{B}^{T} \mathbb{A}^{T}.