Determine x, y, z e w de modo que se tenha: \left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\\ z & x & w\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes e pede encontrar os escalares x,y,z,w tais que a multiplicação resulte na matriz indicada. As matrizes são:
A=\begin{bmatrix}x & y & z \\[4pt] z & x & w\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -2\end{bmatrix}.
O pedido é achar x,y,z,w tais que
A\cdot B = C.
Informações relevantes: as dimensões são A é 2\times3, B é 3\times2, portanto o produto A B é bem definido e resulta em uma matriz 2\times2. A estratégia será calcular cada entrada de A B e igualar às entradas correspondentes de C.]

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação de matrizes (aula rápida e direta): a entrada (i,j) do produto A B é o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B. Ou seja:
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}B_{kj}.
Aqui as linhas de A são \text{linha}_1=[x,y,z] e \text{linha}_2=[z,x,w]. As colunas de B são \text{col}_1=[1,0,0]^T e \text{col}_2=[0,-1,2]^T. Vou calcular cada entrada do produto AB aplicando essa regra.

Passo 3

Calcular a entrada (1,1) de AB: produto da linha 1 de A pela coluna 1 de B.
(AB)_{11} = x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 0 = x.
Comparando com C, que tem C_{11}=1, obtemos a equação
x = 1.

Passo 4

Calcular a entrada (1,2) de AB: produto da linha 1 de A pela coluna 2 de B.
(AB)_{12} = x\cdot 0 + y\cdot(-1) + z\cdot 2 = -y + 2z.
Comparando com C_{12}=3, obtemos a equação
-y + 2z = 3.

Passo 5

Calcular a entrada (2,1) de AB: produto da linha 2 de A pela coluna 1 de B.
(AB)_{21} = z\cdot 1 + x\cdot 0 + w\cdot 0 = z.
Comparando com C_{21}=2, obtemos
z = 2.

Passo 6

Calcular a entrada (2,2) de AB: produto da linha 2 de A pela coluna 2 de B.
(AB)_{22} = z\cdot 0 + x\cdot(-1) + w\cdot 2 = -x + 2w.
Comparando com C_{22}=-2, obtemos a equação
-x + 2w = -2.

Passo 7

Agora resolvemos o sistema formado pelas equações obtidas. Reunindo:
x = 1, \qquad -y + 2z = 3, \qquad z = 2, \qquad -x + 2w = -2.
Substituir x=1 e z=2 nas equações restantes.
Da segunda equação:
-y + 2\cdot 2 = 3 \quad\Rightarrow\quad -y + 4 = 3 \quad\Rightarrow\quad -y = -1 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
Da quarta equação:
-1 + 2w = -2 \quad\Rightarrow\quad 2w = -1 \quad\Rightarrow\quad w = -\frac{1}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (para dar segurança): recalculando AB com x=1, y=1, z=2, w=-\tfrac{1}{2}.
Linha 1 de A é [1,1,2].
\text{col}_1=[1,0,0] e \text{col}_2=[0,-1,2].
(AB)_{11}=1\cdot1+1\cdot0+2\cdot0=1, \qquad (AB)_{12}=1\cdot0+1\cdot(-1)+2\cdot2=-1+4=3.
Linha 2 de A é [2,1,-\tfrac{1}{2}].
(AB)_{21}=2\cdot1+1\cdot0+(-\tfrac{1}{2})\cdot0=2, \qquad (AB)_{22}=2\cdot0+1\cdot(-1)+(-\tfrac{1}{2})\cdot2=-1-1=-2.
O produto confere com C, então as soluções estão corretas.

Resposta

x=1
y=1
z=2
w=-\dfrac{1}{2}

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