Determine x, y, z e w de modo que se tenha: \left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\\ z & x & w\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes e pede encontrar os escalares x,y,z,w tais que a multiplicação resulte na matriz indicada. As matrizes são:
A=\begin{bmatrix}x & y & z \\[4pt] z & x & w\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -2\end{bmatrix}.
O pedido é achar x,y,z,w tais que
A\cdot B = C.
Informações relevantes: as dimensões são A é 2\times3, B é 3\times2, portanto o produto A B é bem definido e resulta em uma matriz 2\times2. A estratégia será calcular cada entrada de A B e igualar às entradas correspondentes de C.]
Passo 2
Relembrando a regra de multiplicação de matrizes (aula rápida e direta): a entrada (i,j) do produto A B é o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B. Ou seja:
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}B_{kj}.
Aqui as linhas de A são \text{linha}_1=[x,y,z] e \text{linha}_2=[z,x,w]. As colunas de B são \text{col}_1=[1,0,0]^T e \text{col}_2=[0,-1,2]^T. Vou calcular cada entrada do produto AB aplicando essa regra.
Passo 3
Calcular a entrada (1,1) de AB: produto da linha 1 de A pela coluna 1 de B.
(AB)_{11} = x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 0 = x.
Comparando com C, que tem C_{11}=1, obtemos a equação
x = 1.
Passo 4
Calcular a entrada (1,2) de AB: produto da linha 1 de A pela coluna 2 de B.