Encontre a matriz quadrada \mathbf{A}^{2} e depois sua transposta \mathbf{A}^{\top}, onde:
A=\left[\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}
e pede duas coisas: (1) encontrar \mathbf{A}^{2} (ou seja \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}) e (2) encontrar a transposta \mathbf{A}^{\top}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz \mathbf{A} é 2\times2 com os elementos na primeira linha -2 e 1 e na segunda linha 3 e 2.
  • Precisamos calcular o produto matricial \mathbf{A}\mathbf{A} e a operação de transposição.]

Passo 2

Recap rápido (fórmula que vamos usar) — multiplicação de matrizes 2\times2: se \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} então
\mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot c & a\cdot b + b\cdot d\\[6pt] c\cdot a + d\cdot c & c\cdot b + d\cdot d \end{pmatrix}.
Explicando em palavras: cada entrada (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i de \mathbf{A} pelos elementos da coluna j de \mathbf{A}. Vou aplicar isso elemento a elemento usando os números da matriz dada.]

Passo 3

Calcular a entrada (1,1) de \mathbf{A}^{2}: use a primeira linha de \mathbf{A} e a primeira coluna de \mathbf{A}.
(\mathbf{A}^{2})_{11}=(-2)\cdot(-2)+1\cdot 3.
Fazendo as multiplicações e a soma:
(-2)\cdot(-2)=4,\qquad 1\cdot 3=3,\qquad 4+3=7.
Logo (\mathbf{A}^{2})_{11}=7.

Passo 4

Calcular a entrada (1,2) de \mathbf{A}^{2}: use a primeira linha de \mathbf{A} e a segunda coluna de \mathbf{A}.
(\mathbf{A}^{2})_{12}=(-2)\cdot 1 + 1\cdot 2.
Multiplicando e somando:
(-2)\cdot 1=-2,\qquad 1\cdot 2=2,\qquad -2+2=0.
Logo (\mathbf{A}^{2})_{12}=0.

Passo 5

Calcular a entrada (2,1) de \mathbf{A}^{2}: use a segunda linha de \mathbf{A} e a primeira coluna de \mathbf{A}.
(\mathbf{A}^{2})_{21}=3\cdot(-2) + 2\cdot 3.
Multiplicando e somando:
3\cdot(-2)=-6,\qquad 2\cdot 3=6,\qquad -6+6=0.
Logo (\mathbf{A}^{2})_{21}=0.

Passo 6

Calcular a entrada (2,2) de \mathbf{A}^{2}: use a segunda linha de \mathbf{A} e a segunda coluna de \mathbf{A}.
(\mathbf{A}^{2})_{22}=3\cdot 1 + 2\cdot 2.
Multiplicando e somando:
3\cdot 1=3,\qquad 2\cdot 2=4,\qquad 3+4=7.
Logo (\mathbf{A}^{2})_{22}=7.

Passo 7

Reunindo todas as entradas calculadas, obtemos
\mathbf{A}^{2}=\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix}.
Observação útil (curiosidade que ajuda na prova): \mathbf{A}^{2}=7\mathbf{I}_{2}, onde \mathbf{I}_{2} é a matriz identidade 2\times2. Isso significa que \mathbf{A} quando elevada ao quadrado resulta em um múltiplo escalar da identidade.]

Passo 8

Agora a transposta. Definição: a transposta \mathbf{A}^{\top} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Se \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} então
\mathbf{A}^{\top}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt]b & d\end{pmatrix}.
Aplicando aos valores de \mathbf{A}:
\mathbf{A}^{\top}=\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{A}^{2}=\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix}
\mathbf{A}^{\top}=\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}]

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