Dadas as matrizes:
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & -\frac{2 \sqrt{6}}{5} \\\ \frac{2 \sqrt{6}}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right], \mathrm{D}=\left[\begin{array}{cc} \operatorname{sen} \theta & -\cos \theta \\\ \cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \end{array}\right] \\\ & \mathrm{E}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right], \quad \mathrm{F}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 9 \\\\ -4 & -6 \end{array}\right], \quad \mathrm{G}=\left[\begin{array}{cc} 12 & 16 \\\\ -9 & -12 \end{array}\right] \text {, } & \mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2} \end{array}\right] & \mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc} 5 & 10 \\\\ -2 & -4 \end{array}\right], \mathrm{L}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 10 \\\\ -3 & -5 \end{array}\right], \mathrm{M}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 6 \\\\ 3 & -2 & -9 \\\\ -2 & 0 & 3 \end{array}\right] \end{aligned}
  1. Calcular \mathrm{F}^{2} e classificar a matriz F. 21) Calcular \mathrm{J}^{2} e classificar a matriz J.

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas distintas: calcular \mathrm{F}^2 e depois classificar a matriz \mathrm{F}; em seguida calcular \mathrm{J}^2 e classificar a matriz \mathrm{J}. Para isso usaremos multiplicação de matrizes 2\times2 e as definições de matrizes nilpotentes (existe k tal que A^k=0) e idempotentes A^2=A, além de verificar pelo determinante se são invertíveis.

Passo 2

Calcular \mathrm{F}^2, em que
\mathrm{F}=\begin{pmatrix}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{pmatrix}.
Fazendo o produto
\mathrm{F}^2 =\begin{pmatrix}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6\cdot6 + 9\cdot(-4) & 6\cdot9 + 9\cdot(-6)\\[0.5em] -4\cdot6 + (-6)\cdot(-4) & -4\cdot9 + (-6)\cdot(-6) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Classificar \mathrm{F}:
  1. Como \mathrm{F}^2=0 mas \mathrm{F}\neq0, \mathrm{F} é nilpotente de índice 2.
  2. O determinante de \mathrm{F} é
\det(\mathrm{F})=6\cdot(-6)-9\cdot(-4)=-36+36=0,
logo \mathrm{F} não é invertível.

Passo 4

Calcular \mathrm{J}^2, em que
\mathrm{J}=\begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix}.
Fazendo o produto
\mathrm{J}^2 =\begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\cdot5 + 10\cdot(-2) & 5\cdot10 + 10\cdot(-4)\\[0.5em] -2\cdot5 + (-4)\cdot(-2) & -2\cdot10 + (-4)\cdot(-4) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix} =\mathrm{J}.]

Passo 5

Classificar \mathrm{J}:
  1. Como \mathrm{J}^2=\mathrm{J}, \mathrm{J} é idempotente.
  2. O determinante de \mathrm{J} é
\det(\mathrm{J})=5\cdot(-4)-10\cdot(-2)=-20+20=0,
logo \mathrm{J} não é invertível.

Resposta

\mathrm{F}^2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, e \mathrm{F} é nilpotente (não invertível). \mathrm{J}^2=\begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix}, e \mathrm{J} é idempotente (não invertível).

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