Dadas as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -7 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 5 & -9 & 6 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rrr} 0 & -9 & 3 \\\\ 4 & 8 & 1 \\\\ 7 & 3 & 1 \end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 3 & 5 \\\\ -1 & 2 & -7 \\\\ 8 & 1 & -9 \end{array}\right]
  1. Classificar A+A^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz A + A^{T}, onde
A = \begin{pmatrix} 2 & -7 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 5 & -9 &6 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve transposta de matriz, simetria e, se for o caso, verificação de positividade (definida positiva) usando menores principais.

Passo 2

Primeiro calculamos a transposta:
A^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\\\ -7 & 4 & -9\\\\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
Então
A + A^{T} = \begin{pmatrix} 2 & -7 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 5 & -9 &6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\\\ -7 & 4 & -9\\\\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 & 6\\\\ -4 & 8 & -7\\\\ 6 & -7 & 12 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observe que em \displaystyle M = A + A^{T} temos M_{12} = -4 = M_{21}, M_{13} = 6 = M_{31} e M_{23} = -7 = M_{32}. Logo M é simétrica.

Passo 4

Para verificar se M é definida positiva, aplicamos o critério de Sylvester (menores principais):
  1. \det\bigl([4]\bigr) = 4 > 0.
  2. \det\begin{pmatrix}4 & -4\\\ -4 & 8\end{pmatrix} = 4\cdot8 - (-4)\cdot(-4) =32 -16 =16 >0.
  3. \det(M)
= 4\det\begin{pmatrix}8 & -7\\\ -7 &12\end{pmatrix} -(-4)\det\begin{pmatrix}-4 & -7\\\ 6 &12\end{pmatrix} +6\det\begin{pmatrix}-4 & 8\\\ 6 & -7\end{pmatrix} = 188 -24 -120 =44>0.
Todos os menores principais são positivos, logo M é definida positiva.

Resposta

A matriz A + A^{T} é simétrica e definida positiva.

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