Dadas as matrizes:
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9 \end{array}\right], \quad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3 \end{array}\right], \quad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ -3 & 5 \end{array}\right] \mathrm{e} & \mathrm{D}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -1 & -3 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3 \end{array}\right] \end{aligned}
  1. Calcular B(A C).

Passo 1

O enunciado pede para calcular B(AC). Note que
  • \displaystyle A é 4\times2,
  • \displaystyle C é 2\times2,
  • logo \displaystyle AC é 4\times2,
  • e \displaystyle B é 2\times4,
  • portanto o produto \displaystyle B\,(AC) está bem definido e resulta numa matriz 2\times2.
    Para isso, usaremos a definição de multiplicação de matrizes: cada elemento do produto é o produto escalar da linha correspondente da primeira matriz pela coluna correspondente da segunda matriz.

Passo 2

Calcular primeiro \displaystyle AC. Para cada linha i de A e cada coluna j de C,
(AC)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,C_{kj}.
Fazendo as contas linha a linha:
AC = \begin{pmatrix} 1\cdot2 +(-2)\cdot(-3) & 1\cdot4 +(-2)\cdot5 \\[6pt] 3\cdot2 +1\cdot(-3) & 3\cdot4 +1\cdot5 \\[6pt] 7\cdot2 +(-4)\cdot(-3)& 7\cdot4 +(-4)\cdot5 \\[6pt] 5\cdot2 +9\cdot(-3) & 5\cdot4 +9\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -6 \\\\ 3 & 17 \\\\ 26 & 8 \\\\ -17& 65 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos
B\,(AC),
onde B é 2\times4 e AC é 4\times2. Cada entrada (i,j) é:
\bigl[B(AC)\bigr]_{ij} =\sum_{m=1}^{4}B_{im}\,(AC)_{mj}.
Para i=1:
\bigl[B(AC)\bigr]_{11} =1\cdot8 + 3\cdot3 +(-5)\cdot26 +(-7)\cdot(-17) =8+9-130+119=6,
\bigl[B(AC)\bigr]_{12} =1\cdot(-6)+3\cdot17+(-5)\cdot8+(-7)\cdot65 =-6+51-40-455=-450.
Para i=2:
\bigl[B(AC)\bigr]_{21} =6\cdot8 +2\cdot3 +(-8)\cdot26 +3\cdot(-17) =48+6-208-51=-205,
\bigl[B(AC)\bigr]_{22} =6\cdot(-6)+2\cdot17+(-8)\cdot8+3\cdot65 =-36+34-64+195=129.

Resposta

B\,(AC) = \begin{pmatrix} 6 & -450\\\\ -205& 129 \end{pmatrix}.

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