Dadas as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr} 5 & 0 & 6 \\\\ -8 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & 7 \\\\ 1 & -1 & -5 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -2 & 4 \\\\ 7 & 8 & 5 & 9 \\\\ 0 & 6 & 3 & -8 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & -8 \\\\ 3 & 5 & 4 \end{array}\right]
  1. \quad Calcular (A B)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A\in\mathbb{R}^{4\times3},\quad B\in\mathbb{R}^{3\times4}
e pede (AB)^{T}. O conteúdo é multiplicação de matrizes e transposição.

Passo 2

Usamos a propriedade de transposta do produto:
(AB)^{T} = B^{T}\,A^{T}.

Passo 3

Calculemos B^{T} e A^{T}.
B^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 \\\\ -3 & 8 & 6 \\\\ -2 & 5 & 3 \\\\ 4 & 9 & -8 \end{pmatrix}, \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & -8 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 6 & 3 & 7 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicamos B^{T} ( 4\times 3) por A^{T} ( 3\times 4). Cada entrada da linha i de B^{T} vezes a coluna j de A^{T} dá:
(AB)^{T} = B^{T}A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & -8 & 12 & -6 \\[6pt] 21 & 42 & 64 & -41 \\[6pt] 8 & 25 & 35 & -22 \\[6pt] -28 & -56 & -46 & 35 \end{pmatrix}.]

Resposta

(AB)^{T} = \begin{pmatrix} 5 & -8 & 12 & -6 \\\\ 21 & 42 & 64 & -41 \\\\ 8 & 25 & 35 & -22 \\\\ -28 & -56 & -46 & 35 \end{pmatrix}.

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