Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2 \times 2.
(a) Mostre que S=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right\} é uma base de V, onde
No item (a) precisamos mostrar que S é base de V. No item (b) vamos expressar
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
como combinação linear dos A_i.
Passo 2
Para (a), note que |S|=4=\dim V\). Basta mostrar que \(S\) é linearmente independente. Suponha
\[c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}+c_{4}A_{4} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Das duas primeiras equações vem c_{1}=c_{2}=0\]. Logo todos os \(c_i são zero, e S é independente. Como tem 4 vetores em espaço de dimensão 4, S é base de V.
Passo 3
Para (b), procuramos escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que