Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2 \times 2.
(a) Mostre que S=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right\} é uma base de V, onde
A_{1}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad A_{2}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad A_{3}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad A_{4}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] .
(b) Determine as coordenadas da matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right]
em relação à base S definida no item anterior.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V = M_{2\times2}(\mathbb{R}), de dimensão \dim V = 4. A família dada é
S = \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\},
com
A_{1} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{3} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{4} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
No item (a) precisamos mostrar que S é base de V. No item (b) vamos expressar
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
como combinação linear dos A_i.

Passo 2

Para (a), note que |S|=4=\dim V\). Basta mostrar que \(S\) é linearmente independente. Suponha \[c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}+c_{4}A_{4} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
O lado esquerdo vale
\begin{pmatrix} -\,c_{1}+c_{2} & c_{1}+c_{2}\\\ c_{3} & c_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} -\,c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{3}=0,\\\ c_{4}=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem c_{1}=c_{2}=0\]. Logo todos os \(c_i são zero, e S é independente. Como tem 4 vetores em espaço de dimensão 4, S é base de V.

Passo 3

Para (b), procuramos escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que
x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4} = \begin{pmatrix}2&0\\\ -1&3\end{pmatrix}.
Somando os termos obtemos
\begin{pmatrix} -\,x_{1}+x_{2} & x_{1}+x_{2}\\\ x_{3} & x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\\ -1&3\end{pmatrix},
que gera o sistema
\begin{cases} -\,x_{1}+x_{2}=2,\\\ x_{1}+x_{2}=0,\\\ x_{3}=-1,\\\ x_{4}=3. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações, somando-as, 2x_{2}=2\Rightarrow x_{2}=1 e então x_{1}=-1. Já x_{3}=-1 e x_{4}=3 vêm diretamente. Assim
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (-1,\,1,\,-1,\,3).

Resposta

(a) S é base de V.
(b) As coordenadas de A em relação à base S são
[A]_{S} = \bigl(-1,\,1,\,-1,\,3\bigr).

Exercícios relacionados