Sejam W_{1} e W_{2} os seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{3} :
\begin{aligned} & W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y=0\right\}, \\\ & W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y-2 z=0\right\} . \end{aligned}
(a) Mostre que W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}.
(b) Exiba uma base para W_{1}, W_{2} e W_{1} \cap W_{2}.
(c) Calcule a dimensão da soma W_{1}+W_{2}. Tem-se \mathbb{R}^{3}=W_{1}+W_{2} ? A soma é direta?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\} e W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid y-2z=0\}.
O conteúdo é teoria de subespaços, bases, dimensões e soma direta de espaços vetoriais.

Passo 2

Mostrar que W_{1} é subespaço de \mathbb{R}^3:
  1. O vetor nulo (0,0,0) satisfaz 0+0=0, logo está em W_{1}.
  2. Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em W_{1}, então x_1+y_1=0 e x_2+y_2=0. Para a soma (x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0, logo (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in W_{1}.
  3. Para escalar \lambda\in\mathbb{R}, \lambda x_1+\lambda y_1=\lambda(x_1+y_1)=\lambda\cdot0=0, então \lambda(x_1,y_1,z_1)\in W_{1}.
    Isso prova que W_{1} é subespaço.

Passo 3

Mostrar que W_{2} é subespaço de \mathbb{R}^3:
  1. (0,0,0) satisfaz 0-2\cdot0=0.
  2. Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em W_{2}, então y_1-2z_1=0 e y_2-2z_2=0.
    (y_1+y_2)-2(z_1+z_2)=(y_1-2z_1)+(y_2-2z_2)=0+0=0, logo soma está em W_{2}.
  3. Para \lambda\in\mathbb{R}, \lambda y_1-2(\lambda z_1)=\lambda(y_1-2z_1)=0.
    Logo W_{2} é subespaço.

Passo 4

Encontrar bases de W_{1} e W_{2}:
  • Em W_{1}, a condição x+y=0 y=-x. Logo
(x,y,z)=(x,-x,z)=x\,(1,-1,0)+z\,(0,0,1).
Uma base é
\{(1,-1,0),\,(0,0,1)\}.
  • Em W_{2}, a condição y=2z. Então
(x,y,z)=(x,2z,z)=x\,(1,0,0)+z\,(0,2,1).
Uma base é
\{(1,0,0),\,(0,2,1)\}.

Passo 5

Encontrar base de W_{1}\cap W_{2}:
para (x,y,z) em ambos valem y=-x e y=2z. Então -x=2z, isto é x=-2z e y=2z.
(x,y,z)=(-2z,2z,z)=z\,(-2,2,1).
Uma base de W_{1}\cap W_{2} é
\{(-2,2,1)\}.

Passo 6

Calcular \dim(W_{1}+W_{2}) e verificar soma e soma direta:
Pela fórmula
\dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=2+2-1=3.
Como \dim(W_{1}+W_{2})=3 e \mathbb{R}^3 é de dimensão 3, temos
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^3.
Mas W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\}, logo a soma não é direta.

Resposta

(a) W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3.
(b)
Base de W_{1}: \{(1,-1,0),\,(0,0,1)\}
Base de W_{2}: \{(1,0,0),\,(0,2,1)\}
Base de W_{1}\cap W_{2}: \{(-2,2,1)\}
(c) \dim(W_{1}+W_{2})=3. Tem-se \mathbb{R}^3=W_{1}+W_{2}. A soma não é direta.

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