Sejam
e
os seguintes subconjuntos de
:
(a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
(b) Exiba uma base para
e
.
(c) Calcule a dimensão da soma
. Tem-se
? A soma é direta?
(b) Exiba uma base para
(c) Calcule a dimensão da soma
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
e
.
O conteúdo é teoria de subespaços, bases, dimensões e soma direta de espaços vetoriais.
O conteúdo é teoria de subespaços, bases, dimensões e soma direta de espaços vetoriais.
Passo 2
Mostrar que
é subespaço de
:
- O vetor nulo
satisfaz , logo está em . - Se
e estão em , então e . Para a soma , logo . - Para escalar
, , então .
Isso prova queé subespaço.
Passo 3
Mostrar que
é subespaço de
:
-
satisfaz . - Se
e estão em , então e .
, logo soma está em . - Para
, .
Logoé subespaço.
Passo 4
Encontrar bases de
e
:
- Em
, a condição dá . Logo
Uma base é
- Em
, a condição . Então
Uma base é
Passo 5
Encontrar base de
:
para em ambos valem
e
. Então
, isto é
e
.
para
Uma base de
é
Passo 6
Calcular
e verificar soma e soma direta:
Pela fórmula
Pela fórmula
Como
e
é de dimensão 3, temos
Mas
, logo a soma não é direta.
Resposta
(a)
e
são subespaços vetoriais de
.
(b)
Base de :
Base de :
Base de :
(c) . Tem-se
. A soma não é direta.
(b)
Base de
Base de
Base de
(c)