Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{crrr}-2 & 3 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 6 & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 & 4 \\\\ -3 & 2 & 3 & 5 \\\\ 2 & 4 & -2 & 6 \\\\ 4 & -2 & 6 & 0 \end{pmatrix}
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 4\times4. Vamos usar operações elementares de linha (que não alteram o valor do determinante) para triangularizar em bloco e, em seguida, expandir.

Passo 2

Zeramos os elementos abaixo de a_{11}=-2 na primeira coluna:
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 & 4 \\\\ -3 & 2 & 3 & 5 \\\\ 2 & 4 & -2 & 6 \\\\ 4 & -2 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{ \substack{R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac32\,R_{1}\\\ R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}\\\ R_{4}\leftarrow R_{4}+2\,R_{1}} } \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 & 4 \\\\ 0 & -\tfrac52 & 3 & -1 \\\\ 0 & 7 & -2 & 10 \\\\ 0 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}
Como só somamos múltiplos de uma linha a outra, o determinante permanece o mesmo. Agora a primeira coluna está triangular, logo
\det(A) = (-2)\,\det(M),
onde M é a submatriz 3\times3 obtida das linhas 2–4 e colunas 2–4.

Passo 3

A submatriz é
M = \begin{pmatrix} -\tfrac52 & 3 & -1 \\\\ 7 & -2 & 10 \\\\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}.
Para calcular \det(M) use a regra de Sarrus ou a fórmula
\det(M)=a(ei - fh)-b(di-fg)+c(dh-eg),
onde
a=-\tfrac52,\;b=3,\;c=-1,\; d=7,\;e=-2,\;f=10,\;g=4,\;h=6,\;i=8.
Então
\det(M) =-\tfrac52\bigl((-2)\cdot8-10\cdot6\bigr) -3\bigl(7\cdot8-10\cdot4\bigr) +(-1)\bigl(7\cdot6-(-2)\cdot4\bigr).
Calculando cada termo:
-\tfrac52(-76)=190,\quad -3(56-40)=-48,\quad -1(42+8)=-50,
logo
\det(M)=190-48-50=92.

Passo 4

Voltando ao determinante de A:
\det(A)=(-2)\times 92 = -184.

Resposta

-184

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