Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 x y, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[cc6 & -19 10 & 7]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & -3 [6pt] 4 & 1, B = 0 & 5 [6pt] 1 & -2
e pergunta se existe combinação linear
alpha A + beta B que produza
C = 6 & -19 [6pt] 10 & 7
O conteúdo é combinação linear de matrizes em M2times2: basta igualar entradas e resolver para alpha e beta.]

Passo 2

Suponha
alpha A + beta B = alpha2 & -3 [3pt]4 & 1 + beta0 & 5 [3pt]1 & -2 = 6 & -19 [3pt]10 & 7 ]

Passo 3

Igualando cada entrada, obtemos o sistema
2alpha + 0beta = 6, -3alpha +5beta = -19, 4alpha +1beta = 10, 1alpha -2beta = 7

Passo 4

Da primeira equação
2alpha = 6 Longrightarrow alpha = 3

Passo 5

Substituindo alpha=3 na segunda equação
-3cdot3 +5beta = -19 Longrightarrow -9 +5beta = -19 Longrightarrow 5beta = -10 Longrightarrow beta = -2

Passo 6

Verificamos nos outros dois entraves para garantir consistência:
terceira equação
4cdot3 +(-2) = 12 -2 = 10
e quarta equação
1cdot3 -2(-2) = 3 +4 = 7
Ambas batem com a matriz C, logo não há contradição.

Resposta

Sim. A matriz 6 & -19 [3pt]10 & 7 pode ser escrita como
3A - 2B ]

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