Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 x y, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[rr6 & 2 9 & 11]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & -3 4 & 1, B = 0 & 5 1 & -2
em M2times2 e pede para ver se
M = 6 & 2 9 & 11
pode ser escrita como combinação linear de A e B.
O conteúdo aqui é espaço gerado por matrizes e vamos montar um sistema para encontrar escalares x e y tais que
xA + yB = M

Passo 2

Igualando cada componente de xA + yB = M obtemos o sistema
2x + 0y = 6, -3x + 5y = 2, 4x + y = 9, x - 2y = 11

Passo 3

Da primeira equação 2x = 6 segue
x = 3
Substituindo x=3 na segunda equação:
-3cdot 3 + 5y = 2 Longrightarrow -9 + 5y = 2 Longrightarrow 5y = 11 Longrightarrow y = tfrac115
Já substituindo x=3 na terceira equação:
4cdot 3 + y = 9 Longrightarrow 12 + y = 9 Longrightarrow y = -3
Vemos que obtemos dois valores diferentes para y ( tfrac115 e -3), logo o sistema é inconsistente e não existe solução (x,y).

Resposta

A matriz não pode ser escrita como combinação linear de A e B.

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