Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 x y, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[cc-2 & 23 0 & -4]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 2 & -3 [6pt] 4 & 1, B = 0 & 5 [3pt]1 & -2
em M2times2 e pergunta se existe combinação linear
alpha A + beta B = -2 & 23 [3pt]0 & -4
O conteúdo é teste de pertença ao subespaço gerado por A e B: montamos um sistema para alpha e beta.
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Passo 2

Igualando a entrada (1,1) de alpha A + beta B com -2 vem
2alpha + 0beta = -2
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alpha = -1

Passo 3

Substituindo alpha=-1 na entrada (1,2), temos
-3alpha + 5beta = 23 Longrightarrow -3(-1) +5beta = 23 Longrightarrow 3 +5beta = 23 Longrightarrow beta = 4

Passo 4

Agora conferimos as outras duas entradas:
  • Entrada (2,1):
4alpha + 1beta = 4(-1) + 4 = 0,
bate com o valor 0 de destino.
  • Entrada (2,2):
1alpha -2beta = (-1) -2cdot4 = -1 -8 = -9,
mas o valor desejado é -4. Há contradição.

Resposta

Não, a matriz -2 & 23 [3pt]0 & -4 não pode ser escrita como combinação linear de A e B.
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