Dadas as matrizes:
e
C=[ccc4 & 3 & 5 -1 & 2 & -7 8 & 1 & -9] classificar:
(c)
A times A^T .
(c)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a matriz
sendo
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, simetria de uma matriz produto e análise de definitude (positiva ou negativa).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a transposta de
A :
Passo 3
Agora calculamos
,A A^T por definição de produto linha
times coluna. Os elementos são:
Portanto
Passo 4
Para verificar que
A A^T é simétrica, basta notar que
e, de fato, na matriz obtida os elementos simétricos são iguais
(a12=a21=-20,;a13=a31=79,dots) .
Passo 5
Para mostrar que
A A^T é definida positiva, usemos a forma quadrática:
Como
det(A)neq0 (
det(A)=93 ),
A é invertível e
A^Txneq0 sempre que
xneq0 . Logo
o que garante que
A A^T é definida positiva e, portanto, também invertível.
Resposta
A matriz
A A^T é simétrica, definida positiva (e, consequentemente, invertível).