Dadas as matrizes: A=[ccc2 & -7 & 1 3 & 4 & 2 5 & -9 & 6], B=[ccc0 & -9 & 3 4 & 8 & 1 7 & 3 & 1] e C=[ccc4 & 3 & 5 -1 & 2 & -7 8 & 1 & -9] classificar:
(c) A times A^T.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
A A^T
sendo
A = 2 & -7 & 1 3 & 4 & 2 5 & -9 & 6
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, simetria de uma matriz produto e análise de definitude (positiva ou negativa).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a transposta de A:
A^T = 2 & 3 & 5 -7 & 4 & -9 1 & 2 & 6

Passo 3

Agora calculamos ,A A^T por definição de produto linha times coluna. Os elementos são:
(A A^T)11 = 2cdot2 + (-7)cdot(-7) + 1cdot1 = 54,
(A A^T)12 = 2cdot3 + (-7)cdot4 + 1cdot2 = -20,
(A A^T)13 = 2cdot5 + (-7)cdot(-9) + 1cdot6 = 79,
(A A^T)21 = 3cdot2 + 4cdot(-7) + 2cdot1 = -20,
(A A^T)22 = 3cdot3 + 4cdot4 + 2cdot2 = 29,
(A A^T)23 = 3cdot5 + 4cdot(-9) + 2cdot6 = -9,
(A A^T)31 = 5cdot2 + (-9)cdot(-7) + 6cdot1 = 79,
(A A^T)32 = 5cdot3 + (-9)cdot4 + 6cdot2 = -9,
(A A^T)33 = 5cdot5 + (-9)cdot(-9) + 6cdot6 = 142
Portanto
A A^T = 54 & -20 & 79 -20 & 29 & -9 79 & -9 & 142

Passo 4

Para verificar que A A^T é simétrica, basta notar que
(A A^T)^T = (A^T)^T A^T = A,A^T,
e, de fato, na matriz obtida os elementos simétricos são iguais (a12=a21=-20,;a13=a31=79,dots).

Passo 5

Para mostrar que A A^T é definida positiva, usemos a forma quadrática:
x^T(A A^T)x = (A^Tx)^T(A^Tx) = |A^Tx|^2
Como det(A)neq0 ( det(A)=93), A é invertível e A^Txneq0 sempre que xneq0. Logo
x^T(A A^T)x>0 forall xneq0,
o que garante que A A^T é definida positiva e, portanto, também invertível.

Resposta

A matriz A A^T é simétrica, definida positiva (e, consequentemente, invertível).

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