Dada a matriz M=[ccccos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1] calcular M times M^T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação em R^3
M = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
e pede o produto M times M^T. O conteúdo aqui é matrizes ortogonais: a transposta de uma matriz de rotação é sua inversa, e o produto deve ser a identidade.

Passo 2

Calcular primeiro a transposta M^T trocando linhas por colunas:
M^T = costheta & sintheta & 0 -sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora fazemos a multiplicação M,M^T. O elemento (i,j) do produto é o produto escalar da linha i de M com a coluna j de M^T. Por exemplo:
(M M^T)11 = (costheta)(costheta) + (-sintheta)(-sintheta) + 0cdot0 = cos^2theta + sin^2theta = 1,
(M M^T)12 = (costheta)(sintheta) + (-sintheta)(costheta) + 0cdot0 = costheta,sintheta - sintheta,costheta = 0,
e de modo análogo para os demais. Os elementos fora da submatriz 2times2 envolvem zeros, e o canto (3,3) é 1cdot1=1.

Resposta

M,M^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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