Se A in Mnxn[R] é invertível então (note que a TL T(X)=A X é tal que T: R^n R^n ):
dim(Im(A))=

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível em Mntimes n(R) e define a transformação linear
Tcolon R^n to R^n, T(x)=A x
Pede-se a dimensão da imagem de A, ou seja, dim(Im(A)). Para resolver, vamos usar que matrizes invertíveis geram transformações lineares injetoras e o teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Como A é invertível, T é injetora, logo
ker(T)=0
Pelo teorema da dimensão temos
dim(R^n)=dim(ker(T))+dim(Im(T))
Substituindo dim(R^n)=n e dim(ker(T))=0, vem
n=0+dim(Im(T)),
ou seja dim(Im(T))=n. Como Im(T)=Im(A), concluímos que dim(Im(A))=n.

Resposta

n

Exercícios relacionados