Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\\\ -1 & y\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}9 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right),
(a) determine x e y tais que A C=B C;
(b) se A C=B C, é possível cancelar C ?

Passo 1

O enunciado dá três matrizes. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido:
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & x\\[4pt]-1 & y\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}9 & 3\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
O que o problema pede:
(a) determinar x e y tais que A C = B C;
(b) se, no caso A C = B C, é possível cancelar C (ou seja, deduzir A=B).]

Passo 2

Relembrando como multiplicar matrizes 2×2 (mini-aula rápida e prática):
  • Se M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix} e N=\begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\\[4pt]n_{21}&n_{22}\end{pmatrix}, o produto MN é a matriz cujas entradas são
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} m_{ik}n_{kj}.
Isto significa: o elemento da linha i e coluna j de MN é a soma do produto da linha i de M com a coluna j de N.
Agora aplico isso para calcular AC. Vou calcular cada entrada passo a passo.]

Passo 3

Cálculo de AC. Usando a regra acima:
  • Entrada (1,1): linha 1 de A por coluna 1 de C:
1\cdot9 + 3\cdot3 = 9 + 9 = 18.
  • Entrada (1,2): linha 1 de A por coluna 2 de C:
1\cdot3 + 3\cdot1 = 3 + 3 = 6.
  • Entrada (2,1): linha 2 de A por coluna 1 de C:
2\cdot9 + 5\cdot3 = 18 + 15 = 33.
  • Entrada (2,2): linha 2 de A por coluna 2 de C:
2\cdot3 + 5\cdot1 = 6 + 5 = 11.
Portanto
AC=\begin{pmatrix}18 & 6\\[4pt]33 & 11\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de BC em função de x e y:
  • Entrada (1,1): linha 1 de B por coluna 1 de C:
2\cdot9 + x\cdot3 = 18 + 3x.
  • Entrada (1,2): linha 1 de B por coluna 2 de C:
2\cdot3 + x\cdot1 = 6 + x.
  • Entrada (2,1): linha 2 de B por coluna 1 de C:
(-1)\cdot9 + y\cdot3 = -9 + 3y.
  • Entrada (2,2): linha 2 de B por coluna 2 de C:
(-1)\cdot3 + y\cdot1 = -3 + y.
Assim
BC=\begin{pmatrix}18+3x & 6+x\\[4pt]-9+3y & -3+y\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impondo AC=BC: igualamos cada entrada correspondente das matrizes AC e BC. Isso gera quatro equações, que na prática reduzem-se a duas independentes para x e y.
Igualando (1,1):
18 = 18 + 3x \quad\Rightarrow\quad 3x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Igualando (1,2):
6 = 6 + x \quad\Rightarrow\quad x=0,
que é consistente com o anterior.
Igualando (2,1):
33 = -9 + 3y \quad\Rightarrow\quad 3y = 42 \quad\Rightarrow\quad y = 14.
Igualando (2,2):
11 = -3 + y \quad\Rightarrow\quad y = 14,
consistente também.
Logo, a solução é
x=0,\qquad y=14.

Passo 6

Agora a questão (b): “se AC=BC, é possível cancelar C ?”
Teoria curta e prática:
  • Se C for invertível (ou seja, existir C^{-1} tal que C C^{-1}=I), então de AC=BC podemos multiplicar à direita por C^{-1} e obter A = B. Assim, cancelamento à direita é válido somente quando C é invertível.
  • Quando C não é invertível (matriz singular), não podemos garantir o cancelamento: pode acontecer que AC=BC com A\neq B.
Verifiquemos a invertibilidade de C calculando seu determinante:
\det\text{(C)}=9\cdot1 - 3\cdot3 = 9-9 = 0.
Como \det\text{(C)}=0, a matriz C não é invertível. Portanto, em geral não se pode cancelar C.
Para tornar isso concreto, mostro que com os valores encontrados temos A\neq B e ainda AC=BC. Com x=0 e y=14,
B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-1 & 14\end{pmatrix}, \qquad A-B=\begin{pmatrix}1-2 & 3-0\\[4pt]2-(-1) & 5-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]3 & -9\end{pmatrix},
que não é a matriz nula (logo A\neq B). Mas multiplico (A-B)C:
  • Linha 1 de A-B por coluna 1 de C: (-1)\cdot9 + 3\cdot3 = -9 + 9 = 0.
  • Linha 1 por coluna 2: (-1)\cdot3 + 3\cdot1 = -3 + 3 = 0.
  • Linha 2 por coluna 1: 3\cdot9 + (-9)\cdot3 = 27 -27 = 0.
  • Linha 2 por coluna 2: 3\cdot3 + (-9)\cdot1 = 9 -9 = 0.
Portanto (A-B)C=0, ou seja AC=BC mesmo com A\neq B. Isso mostra explicitamente que não se pode cancelar C aqui.]

Resposta

(a) x=0,\\ y=14
(b) Não. Não é possível cancelar C porque \det\text{(C)}=0 (ou seja, C não é invertível); de fato aqui AC=BC mas A\neq B.

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