Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\\\ -1 & y\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}9 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right),
(a) determine x e y tais que A C=B C;
(b) se A C=B C, é possível cancelar C ?
Passo 1
O enunciado dá três matrizes. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido:
O que o problema pede:
(a) determinar x e y tais que A C = B C;
(b) se, no caso A C = B C, é possível cancelar C (ou seja, deduzir A=B).]
Passo 2
Relembrando como multiplicar matrizes 2×2 (mini-aula rápida e prática):
Se M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix} e N=\begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\\[4pt]n_{21}&n_{22}\end{pmatrix}, o produto MN é a matriz cujas entradas são
(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} m_{ik}n_{kj}.
Isto significa: o elemento da linha i e coluna j de MN é a soma do produto da linha i de M com a coluna j de N.
Agora aplico isso para calcular AC. Vou calcular cada entrada passo a passo.]
Impondo AC=BC: igualamos cada entrada correspondente das matrizes AC e BC. Isso gera quatro equações, que na prática reduzem-se a duas independentes para x e y.
Agora a questão (b): “se AC=BC, é possível cancelar C ?”
Teoria curta e prática:
Se C for invertível (ou seja, existir C^{-1} tal que C C^{-1}=I), então de AC=BC podemos multiplicar à direita por C^{-1} e obter A = B. Assim, cancelamento à direita é válido somente quando C é invertível.
Quando C não é invertível (matriz singular), não podemos garantir o cancelamento: pode acontecer que AC=BC com A\neq B.
Verifiquemos a invertibilidade de C calculando seu determinante:
\det\text{(C)}=9\cdot1 - 3\cdot3 = 9-9 = 0.
Como \det\text{(C)}=0, a matriz C não é invertível. Portanto, em geral não se pode cancelar C.
Para tornar isso concreto, mostro que com os valores encontrados temos A\neq B e ainda AC=BC. Com x=0 e y=14,