Sejam as matrizes: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).
(a) obtenha as matrizes A^{2}, A B, B^{2},(A+B)^{2}
(b) verifique se vale a identidade: (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A e B e pede duas coisas:
(a) calcular as matrizes \,A^{2},\;A B,\;B^{2},\;(A+B)^{2}.
(b) verificar se vale a identidade \,(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
Explicação intuitiva: cada entrada (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y. Vamos aplicar essa fórmula passo a passo para cada produto pedido. (Lembra que a multiplicação de matrizes, em geral, não comuta: XY pode ser diferente de YX.)]
Passo 3
Calcular A^{2}=A\cdot A. Usando a fórmula com X=Y=A:
Como as duas matrizes são diferentes (pelo menos uma entrada difere), a identidade (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} não vale para estas A e B.]
Passo 8
Um comentário didático final (curto): para números reais vale (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2} porque a multiplicação de números é comutativa (xy=yx). Para matrizes a expansão correta é
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2},
porque os termos cruzados são AB e BA. A igualdade A^{2}+2AB+B^{2} ocorreria somente se AB=BA (ou seja, se A e B comutarem). Neste problema AB\neq BA (pode-se calcular BA se quiser verificar), então a forma com 2AB falha.