Sejam as matrizes: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).
(a) obtenha as matrizes A^{2}, A B, B^{2},(A+B)^{2}
(b) verifique se vale a identidade: (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede duas coisas:
  • (a) calcular as matrizes \,A^{2},\;A B,\;B^{2},\;(A+B)^{2}.
  • (b) verificar se vale a identidade \,(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação de matrizes 2\times2: se
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt]g & h\end{pmatrix},
então o produto XY é
XY=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\[4pt] ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
Explicação intuitiva: cada entrada (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y. Vamos aplicar essa fórmula passo a passo para cada produto pedido. (Lembra que a multiplicação de matrizes, em geral, não comuta: XY pode ser diferente de YX.)]

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Usando a fórmula com X=Y=A:
  • Entrada (1,1): 1\cdot1 + 2\cdot0 = 1 + 0 = 1.
  • Entrada (1,2): 1\cdot2 + 2\cdot(-2) = 2 - 4 = -2.
  • Entrada (2,1): 0\cdot1 + (-2)\cdot0 = 0 + 0 = 0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot2 + (-2)\cdot(-2) = 0 + 4 = 4.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular AB=A\cdot B:
  • Entrada (1,1): 1\cdot1 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5.
  • Entrada (1,2): 1\cdot2 + 2\cdot1 = 2 + 2 = 4.
  • Entrada (2,1): 0\cdot1 + (-2)\cdot2 = 0 - 4 = -4.
  • Entrada (2,2): 0\cdot2 + (-2)\cdot1 = 0 - 2 = -2.
Logo
AB=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]-4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular B^{2}=B\cdot B:
  • Entrada (1,1): 1\cdot1 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5.
  • Entrada (1,2): 1\cdot2 + 2\cdot1 = 2 + 2 = 4.
  • Entrada (2,1): 2\cdot1 + 1\cdot2 = 2 + 2 = 4.
  • Entrada (2,2): 2\cdot2 + 1\cdot1 = 4 + 1 = 5.
Portanto
B^{2}=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular (A+B)^{2}. Primeiro A+B:
A+B=\begin{pmatrix}1+1 & 2+2\\[4pt]0+2 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
Agora quadrado (A+B)(A+B):
  • Entrada (1,1): 2\cdot2 + 4\cdot2 = 4 + 8 = 12.
  • Entrada (1,2): 2\cdot4 + 4\cdot(-1) = 8 - 4 = 4.
  • Entrada (2,1): 2\cdot2 + (-1)\cdot2 = 4 - 2 = 2.
  • Entrada (2,2): 2\cdot4 + (-1)\cdot(-1) = 8 + 1 = 9.
Assim
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}12 & 4\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calcular o lado direito sugerido \;A^{2}+2AB+B^{2}.
Primeiro 2AB (multiplicação escalar por 2):
2AB=2\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]-4 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 & 8\\[4pt]-8 & -4\end{pmatrix}.
Somando A^{2}+2AB:
A^{2}+2AB=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10 & 8\\[4pt]-8 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11 & 6\\[4pt]-8 & 0\end{pmatrix}.
Agora somar B^{2}:
A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix}11 & 6\\[4pt]-8 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 & 10\\[4pt]-4 & 5\end{pmatrix}.
Comparando:
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}12 & 4\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix}, \qquad A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix}16 & 10\\[4pt]-4 & 5\end{pmatrix}.
Como as duas matrizes são diferentes (pelo menos uma entrada difere), a identidade (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} não vale para estas A e B.]

Passo 8

Um comentário didático final (curto): para números reais vale (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2} porque a multiplicação de números é comutativa ( xy=yx). Para matrizes a expansão correta é
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2},
porque os termos cruzados são AB e BA. A igualdade A^{2}+2AB+B^{2} ocorreria somente se AB=BA (ou seja, se A e B comutarem). Neste problema AB\neq BA (pode-se calcular BA se quiser verificar), então a forma com 2AB falha.

Resposta

(a) A^{2}=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}
AB=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]-4 & -2\end{pmatrix}
B^{2}=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}12 & 4\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix}
(b) (A+B)^{2}=\begin{pmatrix}12 & 4\\[4pt]2 & 9\end{pmatrix}, \;A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix}16 & 10\\[4pt]-4 & 5\end{pmatrix}. Portanto (A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}.]

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