Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right), calcule A \cdot B e B \cdot A. Os resultados são iguais?

Passo 1

O enunciado pede para calcular os produtos de duas matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt]0 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[6pt]3 & 4\end{pmatrix}
e verificar se A\cdot B = B\cdot A. O conteúdo usado é a definição de multiplicação de matrizes, em que cada elemento do produto é dado pela soma de produtos de entradas de linha de uma matriz com entradas de coluna da outra.]

Passo 2

Para calcular A\cdot B, usamos
(A\cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Logo,
(A\cdot B)_{11} = 2\cdot1 + 1\cdot3 = 5,\quad (A\cdot B)_{12} = 2\cdot(-2) + 1\cdot4 = 0,
(A\cdot B)_{21} = 0\cdot1 + (-1)\cdot3 = -3,\quad (A\cdot B)_{22} = 0\cdot(-2) + (-1)\cdot4 = -4.
Portanto
A\cdot B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -3 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular B\cdot A, repetimos o processo trocando as ordens:
(B\cdot A)_{11} = 1\cdot2 + (-2)\cdot0 = 2,\quad (B\cdot A)_{12} = 1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) = 3,
(B\cdot A)_{21} = 3\cdot2 + 4\cdot0 = 6,\quad (B\cdot A)_{22} = 3\cdot1 + 4\cdot(-1) = -1.
Logo
B\cdot A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt]6 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando
A\cdot B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\\\ -3 & -4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B\cdot A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 6 & -1\end{pmatrix},
vemos que são diferentes (as entradas não coincidem em várias posições).

Resposta

A\cdot B = \begin{pmatrix}5 & 0 \\\\ -3 & -4\end{pmatrix}. B\cdot A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 6 & -1\end{pmatrix}.
Os resultados não são iguais.

Exercícios relacionados