Determine a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos P(1,2,0), Q(2,0,-1) e R(3,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano \pi que contém os pontos P(1,2,0), Q(2,0,-1) e R(3,1,1). O conteúdo é geometria analítica no espaço, mais especificamente a obtenção de um vetor normal ao plano por meio de produto vetorial entre vetores diretores, e em seguida a formulação da equação do plano.

Passo 2

Para obter um vetor normal ao plano, primeiro calculamos dois vetores diretores que saem de P:
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2-1,\;0-2,\;-1-0) = (1,\,-2,\,-1),
\overrightarrow{PR} = R - P = (3-1,\;1-2,\;1-0) = (2,\,-1,\;1).

Passo 3

O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-3,\,-3,\,3).
Podemos simplificar dividindo por -3 (ou multiplicar por -1/3), obtendo um vetor normal equivalente
\overrightarrow{n} = (1,\,1,\,-1).

Passo 4

A equação do plano com normal \overrightarrow{n}=(a,b,c) que passa por P(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0.
Aqui a=1, b=1, c=-1 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,0), então
1\,(x-1) + 1\,(y-2) -1\,(z-0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 + y - 2 - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y - z - 3 = 0.

Resposta

x + y - z - 3 = 0.

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