Encontre o ponto de interseção entre a reta r:(x, y, z)=(1,1,0)+t(2,-1,1) e o plano \pi: x+2 y-3 z-9=0.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre a reta r e o plano \pi. Este tipo de problema é resolvido escrevendo as equações paramétricas da reta e substituindo-as na equação cartesiana do plano para encontrar o parâmetro t correspondente ao ponto comum.

Passo 2

A reta r está dada por
(x,y,z) = (1,1,0) + t\,(2,-1,1),
o que equivale às equações paramétricas
x = 1 + 2t,\quad y = 1 - t,\quad z = t.

Passo 3

Substituímos x, y e z na equação do plano \pi: x + 2y - 3z - 9 = 0:
(1 + 2t) + 2(1 - t) - 3(t) - 9 = 0.
Desenvolvendo,
1 + 2t + 2 - 2t - 3t - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -6 - 3t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -2.

Passo 4

Com t = -2, calculamos as coordenadas do ponto:
x = 1 + 2(-2) = -3,\quad y = 1 - (-2) = 3,\quad z = -2.

Resposta

O ponto de interseção é (-3,\,3,\,-2).

Exercícios relacionados