Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\\\ 4 & -1 & -6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}5 & -7 & -9 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{lll}0 & 9 & 8 \\\\ 1 & 4 & 6\end{array}\right), calcule, se existir:
A^{t}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes, entre elas
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6\end{pmatrix},
e pede para calcular A^{t}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem duas linhas e três colunas, ou seja é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • A operação pedida é a transposição, indicada por ^{t}, aplicada à matriz A.]

Passo 2

O que significa transpor uma matriz? Vou explicar devagarinho, sem pular etapas.
Se uma matriz M tem entradas m_{ij} (onde i é o índice da linha e j o índice da coluna), a transposta M^{t} é a matriz cujas entradas são
(M^{t})_{ij}=m_{ji}.
Isto quer dizer: a entrada que estava na linha i, coluna j em M passa para a linha j, coluna i em M^{t}. Em palavras mais simples: linhas viram colunas e colunas viram linhas.
Também é importante notar que se M tem dimensão r\times c, então M^{t} terá dimensão c\times r.

Passo 3

Vamos identificar as entradas de A com mais calma, escrevendo cada uma com índice:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6 \end{pmatrix}.
Daí:
  • a_{11}=2, a_{12}=3, a_{13}=8.
  • a_{21}=4, a_{22}=-1, a_{23}=-6.]

Passo 4

Aplicando a regra (A^{t})_{ij}=a_{ji}, vamos calcular as entradas de A^{t} uma a uma (lembrando que A^{t} terá dimensão 3\times2):
  • Linha 1, coluna 1 de A^{t} é (A^{t})_{11}=a_{11}=2.
  • Linha 1, coluna 2 de A^{t} é (A^{t})_{12}=a_{21}=4.
  • Linha 2, coluna 1 de A^{t} é (A^{t})_{21}=a_{12}=3.
  • Linha 2, coluna 2 de A^{t} é (A^{t})_{22}=a_{22}=-1.
  • Linha 3, coluna 1 de A^{t} é (A^{t})_{31}=a_{13}=8.
  • Linha 3, coluna 2 de A^{t} é (A^{t})_{32}=a_{23}=-6.

Passo 5

Interpretação intuitiva (para fixar): as colunas de A
\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}8\\[2pt]-6\end{pmatrix}
viram as linhas de A^{t}:
(2\\\ 4),\quad (3\\\ -1),\quad (8\\\ -6).
Isso bate com os cálculos das entradas que fizemos no passo anterior.]

Resposta

A^{t}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & -1 \\[4pt] 8 & -6\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados