Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir:
B \cdot B^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (copiei-as do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é: calcule, se existir, B\cdot B^{t}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • B é uma matriz de tamanho 3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
  • A operação pedida é multiplicar B pela sua transposta B^{t}.]

Passo 2

O que é a transposta de uma matriz e como obtê-la (aula rápida):
  • A transposta de uma matriz M, denotada M^{t}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Ou seja, o elemento na linha i e coluna j de M vira o elemento na linha j e coluna i de M^{t}.
  • Se M é m\times n, então M^{t} é n\times m.
Aplicando isso em B (peguei os elementos de B da matriz dada):
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Então a transposta B^{t} troca linhas por colunas:
B^{t}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
que é de tamanho 2\times3.]

Passo 3

Quando a multiplicação B\cdot B^{t} existe e qual será o tamanho do produto:
  • Para multiplicar uma matriz X de tamanho m\times n por uma Y de tamanho p\times q é necessário n=p. O produto resulta numa matriz m\times q.
  • Aqui B é 3\times2 e B^{t} é 2\times3, logo a multiplicação existe e o resultado será uma matriz 3\times3.
Fórmula para calcular os elementos do produto (explicação didática):
  • O elemento na linha i e coluna j de B B^{t}, denotado (B B^{t})_{ij}, é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de B com a coluna j de B^{t}.
  • Como B^{t}_{k j}=B_{j k}, isso fica
(B B^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{2} B_{ik}\,B_{jk}.
Isso mostra que cada entrada é o produto interno (dot product) entre a linha i de B e a linha j de B.

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de B B^{t} explicitamente (cada soma é curta, faço passo a passo para você conseguir reproduzir na prova).
Pegando as linhas de B:
  • linha 1 de B: (1,1),
  • linha 2 de B: (-1,1),
  • linha 3 de B: (2,0).
Agora os elementos:
Cálculo de (B B^{t})_{11}:
(B B^{t})_{11}=1\cdot1 + 1\cdot1 = 1+1 = 2.
Cálculo de (B B^{t})_{12}:
(B B^{t})_{12}=1\cdot(-1) + 1\cdot1 = -1+1 = 0.
Cálculo de (B B^{t})_{13}:
(B B^{t})_{13}=1\cdot2 + 1\cdot0 = 2+0 = 2.
Cálculo de (B B^{t})_{21} (note que é o dot product da linha 2 com linha 1; deve coincidir com (B B^{t})_{12}):
(B B^{t})_{21}=(-1)\cdot1 + 1\cdot1 = -1+1 = 0.
Cálculo de (B B^{t})_{22}:
(B B^{t})_{22}=(-1)\cdot(-1) + 1\cdot1 = 1+1 = 2.
Cálculo de (B B^{t})_{23}:
(B B^{t})_{23}=(-1)\cdot2 + 1\cdot0 = -2+0 = -2.
Cálculo de (B B^{t})_{31}:
(B B^{t})_{31}=2\cdot1 + 0\cdot1 = 2+0 = 2.
Cálculo de (B B^{t})_{32}:
(B B^{t})_{32}=2\cdot(-1) + 0\cdot1 = -2+0 = -2.
Cálculo de (B B^{t})_{33}:
(B B^{t})_{33}=2\cdot2 + 0\cdot0 = 4+0 = 4.
Observação rápida e útil: como (B B^{t})_{ij} é dot product entre linha i e linha j de B, a matriz resultante é simétrica, ou seja (B B^{t})_{ij}=(B B^{t})_{ji}. Isso aparece nos cálculos acima (por exemplo (1,2) e (2,1) deram ambos 0).

Resposta

B B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -2\\[4pt] 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}]

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