Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir:
C^{2}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix}
e pede para calcular, se existir, C^{2}.
Informações relevantes:
  • A matriz C é 2\times2 (duas linhas e duas colunas).
  • A operação pedida é C^{2}, que significa multiplicar C por si mesma: C^{2}=C\cdot C.
  • Não é necessário usar A e B para calcular C^{2}.]

Passo 2

Quando podemos multiplicar duas matrizes? Para matrizes X de tamanho m\times n e Y de tamanho n\times p, o produto XY existe e tem tamanho m\times p. No caso de C ser 2\times2, o produto C\cdot C existe e será também uma matriz 2\times2.
Explicação do cálculo de um produto de matrizes (fórmula que vamos usar):
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
onde (AB)_{ij} é o elemento da linha i e coluna j do produto, A_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A e B_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B; a soma é sobre todos os k que indexam as colunas de A (ou linhas de B).
No nosso caso, n=2. Para C^{2}=C\cdot C teremos, para cada entrada (i,j),
(C^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{2} C_{ik}\,C_{kj} = C_{i1}C_{1j}+C_{i2}C_{2j}.

Passo 3

Vou listar os elementos de C para facilitar:
C_{11}=3,\quad C_{12}=2,\quad C_{21}=1,\quad C_{22}=5.
Agora calculamos cada entrada de C^{2} usando a fórmula do produto.

Passo 4

Cálculo de (C^{2})_{11}:
(C^{2})_{11}=C_{11}C_{11}+C_{12}C_{21}=3\cdot3+2\cdot1=9+2=11.

Passo 5

Cálculo de (C^{2})_{12}:
(C^{2})_{12}=C_{11}C_{12}+C_{12}C_{22}=3\cdot2+2\cdot5=6+10=16.

Passo 6

Cálculo de (C^{2})_{21}:
(C^{2})_{21}=C_{21}C_{11}+C_{22}C_{21}=1\cdot3+5\cdot1=3+5=8.

Passo 7

Cálculo de (C^{2})_{22}:
(C^{2})_{22}=C_{21}C_{12}+C_{22}C_{22}=1\cdot2+5\cdot5=2+25=27.

Passo 8

Juntando todas as entradas, obtemos a matriz C^{2}:
C^{2}=\begin{pmatrix}11 & 16 \\[4pt] 8 & 27\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}11 & 16 \\[4pt] 8 & 27\end{pmatrix}]

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