Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 4 & 2 \\\\ 6 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 6 & 3\end{array}\right], determine:
A \cdot B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt] 4 & 2 \\[6pt] 6 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 5 \\[4pt] 2 & 6 & 3\end{pmatrix}
e pede o produto A\cdot B. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes: vamos usar a definição de que, se A é m\times p e B é p\times n, então C = A\cdot B é m\times n com
C_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik}\,B_{kj}.]

Passo 2

Verificamos as dimensões: A é 3\times2 e B é 2\times3. Como o número de colunas de A (que é 2) bate com o número de linhas de B (que é 2), o produto existe e será uma matriz 3\times3.

Passo 3

Aplicando a fórmula
C_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj},
para cada linha i=1,2,3 de A e coluna j=1,2,3 de B.

Passo 4

Linha 1 de C: C_{11} = 1\cdot1 + 3\cdot2 = 1 + 6 = 7 C_{12} = 1\cdot0 + 3\cdot6 = 0 + 18 = 18 C_{13} = 1\cdot5 + 3\cdot3 = 5 + 9 = 14

Passo 5

Linha 2 de C: C_{21} = 4\cdot1 + 2\cdot2 = 4 + 4 = 8 C_{22} = 4\cdot0 + 2\cdot6 = 0 + 12 = 12 C_{23} = 4\cdot5 + 2\cdot3 = 20 + 6 = 26

Passo 6

Linha 3 de C: C_{31} = 6\cdot1 + (-1)\cdot2 = 6 - 2 = 4 C_{32} = 6\cdot0 + (-1)\cdot6 = 0 - 6 = -6 C_{33} = 6\cdot5 + (-1)\cdot3 = 30 - 3 = 27

Resposta

A\cdot B = \begin{pmatrix} 7 & 18 & 14 \\[4pt] 8 & 12 & 26 \\[4pt] 4 & -6 & 27 \end{pmatrix}.]

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